Cómo demostrar que si $c$ > $8/3$ entonces existe un número real $\theta $ tal que $\bigl\lfloor\theta^{c^n}\bigr\rfloor$ es primo para cada entero positivo $n$ ?
Respuesta
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Se trata de una generalización de la constante de Mill (o Teorema de Mill). La prueba es realmente tonta porque tiene casi nada que hacer con los primos. Sin embargo, necesitarás un hecho no trivial sobre los primos.
Dejemos que $S=\{p_k\}_{k=1}^\infty$ sea un conjunto de números $p_k$ que satisfacen la siguiente propiedad: Existe un número fijo de $a,b$ con $0<b<1$ tal que $(r,r+r^b)$ contiene un elemento de $S$ para cada número real $r>a$ . Por lo tanto, piense en $(r,r+r^b)$ como una ventana deslizante que crece en tamaño como $r$ se hace más grande. La afirmación ahora es que si $c>\min\left(\frac{1}{1-b},2\right)$ entonces hay un $A$ tal que $[A^{c^n}]$ es un elemento de $S$ para cada $n$ . En otras palabras $[A^{c^n}]$ es una sucesión creciente de $S$ .
Para demostrar esta afirmación, saque con cuidado una subsecuencia de $S$ que satisfaga el criterio anterior. Puede encontrar uno de estos prueba aquí .
Para su problema, tiene que elegir $a,b$ tal que $(r,r+r^b)$ tiene un primo para cada $r>a$ . Ahora sólo depende del tipo de teoremas que conozcas sobre los huecos primos. Por ejemplo, el postulado (teorema) de Bertrand dice que hay un primo entre $r$ y $2r$ no es suficiente ya que en este caso $b=1$ . Por otro lado, el gurú del teorema de los números primos garantiza que hay unos $(r+r^b)/\ln(r+r^b)-(r)/\ln(r)$ primos entre $r$ y $r+r^b$ . Por desgracia, no creo que esto sea suficiente para concluir una respuesta. Parece que la existencia de un primo en $[r,r+r^b]$ está relacionada con la función zeta de Riemann, según el comentario de Steven Stadnicki en esta respuesta . Creo que esto está relacionado con Teoremas de densidad cero . Para comparar, Mills, en su prueba original , usado $b=6/8$ .
Tal vez alguien más sabio que yo vea por qué $8/3$ en particular surge, tal vez de un resultado agradable conocido.
