¿Existe algún fractal como el copo de nieve de Koch, pero sólo con muchos círculos alrededor de un círculo inicial más grande, cada uno de ellos rodeado por círculos más pequeños y así sucesivamente (pero todos ellos besando a un círculo más grande)? O sea, círculos en lugar de los triángulos de un copo de nieve de Koch... Si no es así, ¿por qué?
Partes de la Conjunto de Mandelbrot parecen círculos con círculos más pequeños unidos recursivamente:
No son círculos del todo exactos (excepto el centrado en $-1+0i$ ), pero la propiedad de que el radio del círculo menor unido a un ángulo racional $\frac{p}{q}$ medido en vueltas es aproximadamente $q^2$ veces más pequeño proporciona una forma de construir un fractal similar a partir de círculos exactos:
Código fuente de Haskell utilizando el Diagramas biblioteca:
import Diagrams.Prelude
import Diagrams.Backend.SVG.CmdLine (defaultMain)
main
= defaultMain
$ diagram 1
# rotateBy (-0.25)
# pad 1.1
# lw thin
# bg white
power = 2
minimumRadius = 0.001
diagram radius
| radius < minimumRadius = mempty
| otherwise = circle radius <> mconcat
[ diagram r
# rotateBy (s - 0.5)
# translate (r2 (rr * cos t, rr * sin t))
| den <- [ 2 .. ceiling (sqrt (radius / minimumRadius)) ]
, num <- [ 1 .. den - 1 ]
, num `gcd` den == 1
, let s = fi num / fi den
, let t = 2 * pi * s
, let r = radius / fi den ** power
, let rr = radius + r
]
where
fi = fromIntegerReducir la power hace que los círculos sean más grandes, pero si es demasiado baja, acaban solapándose; en cualquier caso, la potencia debe ser mayor que uno para garantizar que los círculos se reduzcan realmente.
(+1) Gracias por el código :) El solapamiento de los círculos también me preocupaba, ¡has encontrado una buena reducción de lo que buscaba!
¿Puedes enlazar una versión de la segunda imagen en la que la potencia esté ajustada de forma que los círculos se reduzcan lo más gradualmente posible sin superponerse?
@alan2here Sospecho que la potencia mínima sin superposición es de hecho $2$ como en la foto, aunque todavía no tengo una prueba. Tal vez el hecho de que $\operatorname{exsec} \theta \approx \frac{1}{2}\theta^2$ ¿tiene algo que ver?
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Aquí trazado por Ken Monks
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No estoy seguro de todos los detalles que quieres, pero cualquier cosa que puedas imaginar o dibujar a grandes rasgos podría ciertamente ser "fractalizada", pero queda la cuestión de por qué alguien querría estudiarla. Lo más parecido a lo que quieres podría ser Junta apolínea Sin embargo.
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Una junta apolínea se acerca a lo que imagino, ¡sí! Sinceramente, no conozco una razón para estudiarlo, aparte de que puede ser bonito (probablemente no tan bonito como la junta).
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La junta apolínea parece la mejor respuesta hasta ahora.