Límite de $\frac{n^4+4^n}{n+4^{n+1}}$

Question

Justo cuando pensé que finalmente consiguió la caída de los límites, me topé con esto:

$$\frac{n^4+4^n}{n+4^{n+1}}$$

Ahora bien, este algo tiene sentido en mi cabeza porque $4^n$ crece mucho más rápido que $n^4$, digamos $n$. Ahora mi pregunta es si esta suposición es una herramienta válida para la solución de este límite, es decir, si yo divide el denominador y el numerador con $4^n$, puede que sea el usuario, sin más explicación o prueba.

Esto, por supuesto, da el resultado de $\frac{1}{4}$, lo que parece ser correcta.

EDIT: $n \in \mathbb{N}$

Answer 1

Tenga en cuenta que:

$$\frac{n^4+4^n}{n+4^{n+1}}=\frac{4^{-n}}{4^{-n}}\frac{n^4+4^n}{n+4^{n+1}}=\frac{\frac{n^4}{4^n}+1}{\frac{n}{4^{n}}+4}$$

Ahora usted tiene:

$$\frac{n^4}{4^n} \to 0$$

$$\frac{n}{4^n} \to 0$$

al $n \to \infty$, así:

$$\frac{\frac{n^4}{4^n}+1}{\frac{n}{4^{n}}+4} \to \frac{0+1}{0+4}=\frac{1}{4}$$

Answer 2

Sugerencia: $$ \frac{n^4+4^n}{n+4^{n+1}}=\frac{\frac{n^4}{4^n}+1}{\frac{n}{4^n}+4} $$

Answer 3

Como usted dijo que usted puede hacer $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^4+4^n}{n+4^{n+1}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{n^4}{4^n}+1}{\frac{n}{4^n}+4} = \frac{\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^4}{4^n}+1}{\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{4^n}+4} = \frac{0+1}{0+4}$$

Pero es necesario que ya han demostrado en la que la conferencia, que

• $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^k}{q^n} = 0$ al $|q| > 1$ $k\in\mathbb N$
• $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n\rightarrow\infty} a_n}{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}$ al $(a_n)$ $(b_n)$ son convergentes
• $\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} a_n+\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$ al $(a_n)$ $(b_n)$ son convergentes

Supongo que usted encontrará similar teoremas en el script...

Answer 4

función exponencial $4^n$ es mayor que cualquier poder de la $n$ $n$ grandes. que es $\lim_{n \to \infty}\dfrac{n^k}{4^n} = 0$ cualquier $k.$ suponiendo que este,

$\dfrac{n^4 + 4^n}{n + 4^{n+1}} = \dfrac{ 4^n + \cdots}{4^{n+1} + \cdots} = \dfrac{1}{4} + \cdots$

establecer el límite. supongamos $\lim_{n \to \infty}\dfrac{n^k}{4^n} = L$ sustitución de $n$ $2n$ que debemos obtener el mismo límite. por lo tanto $$L = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n^k}{4^n} = \lim_{n \to \infty}\dfrac{(2n)^k}{4^{2n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{2^k}{4^n}\dfrac{n^k}{4^n}= \lim_{n \to \infty}\frac{2^k}{4^n}L = 0.$$