Hay una relación matemática entre Legendre conjugados y transformadas de Fourier conjugados?

Question

En la mecánica cuántica, hay un principio de incertidumbre entre conjugar las variables, dando lugar a descripciones complementarias de un sistema cuántico. Pero las variables son conjugados en dos matemáticos diferentes sentidos.

Un sentido en el que se conjuga con respecto a la transformación de Legendre de una de Lagrange en un Hamiltoniano (donde generalizada impulso de las coordenadas se introducen).

Y, en otro sentido, son conjugados respecto a una transformada de Fourier. Parece obvio el por qué de ser conjugados en este segundo sentido, resultaría en un principio de incertidumbre, y dan lugar a dos descripciones del sistema. Lo mismo sucede con cualquier tipo de ondas. En procesamiento digital de señales se conocen como el dominio de la frecuencia y en el dominio del tiempo. En física del estado sólido, k-espacio se conoce como la "red recíproca" o el "doble celosía", ya que es una doble descripción de la posición del espacio utilizando la transformada de Fourier conjugado de onda número de k como base en su lugar. De hecho, las transformadas de Fourier son sólo un caso especial de la dualidad de Pontryagin.

Lo que no es obvio para mí es por qué o cómo estos dos sentidos diferentes de conjugacy están conectados. Hay un verdadero matemático de conexión? O es sólo una suposición ad hoc de la mecánica cuántica que cuando vea Legendre conjugados automáticamente debe hacerlos de Fourier conjugados mediante la imposición de la canónica de relaciones de conmutación? ¿Hay alguna otra manera, además de simplemente aceptar esto como un postulado, para entender esta conexión? Si no, no podría haber una constante de la versión de la mecánica cuántica, donde otros tipos de pares de variables se hicieron de Fourier se conjuga en el espacio de Hilbert, en lugar de utilizar Legendre conjugados?

Answer 1

I) Así, la transformación de Legendre puede ser, por ejemplo, es visto como el líder clásico árbol de fórmulas de nivel de formal semiclásica de la transformación de Fourier.

Este hecho, por ejemplo, es utilizado en QFT la hora de relacionarse con el quantum de acción $S[\varphi]$, la función de partición $Z[J]$, generando funcional $W_c[J]$ conectados diagramas, y la acción efectiva $\Gamma[\Phi]$.

II) Para ver la correspondencia en detalle, vamos a $x$ $p$ ser los dos dual/conjugar las variables (en ambos sentidos!). Vamos

$$\tag{1} f(x;\hbar)~\equiv~\sum_{n=0}^{\infty}\hbar^n f_n(x)\quad\text{and}\quad g(p;\hbar)~\equiv~\sum_{n=0}^{\infty}\hbar^n g_n(p)$$

dos de poder formal de la serie en $\hbar$ con coeficientes de la función. Considere la posibilidad de su semiclásica exponenciales

$$\tag{2} F(x;\hbar)~:=~e^{if(x;\hbar)/\hbar}\quad\text{and}\quad G(p;\hbar)~:=~e^{ig(p;\hbar)/\hbar}.$$

Supongamos ahora que

$$\tag{3} G(p;\hbar)~=~\int \! dx~ e^{-ipx/\hbar} F(x;\hbar)$$

es la transformada de Fourier de $F(x;\hbar)$. Podemos utilizar la WKB/fase estacionaria aproximación a deducir que la clásica partes $f_0(x)$ $-g_0(p)$ luego de Legendre duales de cada uno de los otros, es decir,

$$\tag{4} g_0(p) ~=~ -px+f_0(x)\quad\text{where}\quad p~=~f_0^{\prime}(x),$$

para una lo suficientemente buena función $f_0(x)$.

Answer 2

Creo que he encontrado la respuesta a mi propia pregunta.

Parece que la conexión entre los dos se origina a partir de Feynman de la ruta integral de la formulación de la mecánica cuántica.

Para ver cómo, vamos a suponer por un momento que nunca hemos oído hablar de la Ecuación de Schrödinger, y no sabemos lo que las relaciones de conmutación entre x y p o que los estados en esas bases están relacionados por transformadas de Fourier. En su lugar, todo lo que sabemos es que hay algunos de Lagrange de segundo grado en $\dot{x}$ y que la forma de evolucionar de un estado inicial en el momento t_i a un estado final en el momento t_f es integrar a $\exp(iS)$ sobre todos los caminos de$x(t_i)$$x(t_f)$. En donde S es la integral en el tiempo de la Lagrangiana a lo largo de un camino.

Si se considera el límite de un pequeño intervalo de tiempo entre el$t_i$$t_f$, entonces el integrando de la ruta integral se convierte en:

$$ \exp(i(p\dot{x}-H)\Delta t) = \exp(ip\Delta x)\exp(-iH\Delta t) $$

donde $\Delta t = t_f - t_i$ y $\Delta x = x_f - x_i$

El lado izquierdo muestra el Legendre conjugacy relación entre x y p, mientras que la parte derecha se muestra la transformada de Fourier conjugacy relación entre x y p. Si usted comienza a partir de la suposición de que sólo estamos reescribiendo la acción en términos del Hamiltoniano, mediante la realización de una transformación de Legendre, entonces termina con un producto de dos factores. El $\exp(iH\Delta t)$ factor puede ser interpretado como la Ecuación de Schrödinger, mientras que el $\exp(ip\Delta x)$ factor puede ser interpretado como una transformada de Fourier, que narra cómo el impulso de los estados se refieren a la posición de los estados. El hecho de que la transformada de Fourier es necesario para el cambio de x a y p, a la vez, sumando más de los estados es equivalente a la canónica de relaciones de conmutación entre x y p; por lo tanto, de estos, así como la Ecuación de Schrödinger, se puede considerar que han sido derivados a partir de la asunción de la ruta integral.

En resumen, parece que la relación matemática entre las transformadas de Fourier y de Legendre conjugados es algo análogo a la relación entre la Lie y Álgebras de Lie Grupos. La Ecuación de Schrödinger en términos del Hamiltoniano, donde x y p son de Fourier conjugados, le da la infinitesimal de la regla de tiempo de evolución. Mientras que el camino de Feynman integral, donde x y p son Legendre conjugados, le da la exponentiated versión de este artículo que te explica cómo conectar un estado inicial a un estado final después de algún período de tiempo finito. Uno le dice a usted acerca de las propiedades locales, mientras que el otro le dice a usted acerca de las propiedades globales, pero ambos dicen lo mismo.

Este parece que es probablemente relacionadas con @Qmechanic la respuesta, pero no estoy seguro exactamente cómo.