Es el adjunto de la representación de $SU(2)$ el mismo que el triplete de la representación?

Question

Es el triplete en representación de $SU(2)$ la misma que la de su medico adjunto de la representación? Cuando el convenio para el adjunto de la representación utilizada es la que se utiliza en física de partículas, donde la estructura de las constantes son reales y antisimétrica:

$$\mathrm{ad}(t^b_G)_{ac} = i f^{abc}$$

Yo estaba bajo la impresión de que se fue, pero yo lo veo de dos formas diferentes de los generadores en la terna de representaciones utilizadas, siendo uno solo el real sesgar simétrica generadores de la $SO(3)$ rotación de grupo, lo cual está de acuerdo con el adjunto de la representación, y el otro es:

$$T^1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{matrix}\right) \quad T^2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0\end{matrix}\right) \quad T^3= \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{matrix}\right)$$

Estas dos representaciones no está de acuerdo, supongo que mi idea sobre el adjunto reperesentation de $SU(2)$ siendo su triplete representación está mal, pero ¿por qué?

Answer 1

Es tan solo cuestión de un factor de perdidas $i\sqrt{2}$ debido a los diferentes convenios. El antiHermitian matrices $i\sqrt{2} T^k$ puede ser transformado en el real antisimétrica matrices $L_k$ (que por lo tanto son también complejos antiHermitian) por medio de un adecuado unitario de la matriz $U$, $$L_k = U i\sqrt{2}\:T^kU^\dagger\quad k=1,2,3\:.$$ Esto es porque tanto los triples de matrices son irreductibles a las representaciones de la Mentira álgebra de $SU (2)$ con el mismo valor de la Casimir operador $\sum_k (\sqrt{2} T^k)^2 = -\sum_k (L_k)^2 =2I$ (de modo que $2= j(j+1)$ $j=1$ cual es el giro de la representación). Como es sabido, hasta unitario equivalencias sólo hay una unitario irreductible representación de $SU (2)$ para cada valor de la tirada, debido fundamentalmente a Peter-Weyl teorema.