Los no generadores de $A_n$

Question

Se sabe que todos los grupos alternos $A_n$ puede ser generado por 2 elementos, esto se remonta a 1901 (Miller). Además, la conjetura de Netto de que la probabilidad de que 2 elementos de $A_n$ elegidos uniformemente al azar generan la totalidad de $A_n$ tiende a $1$ como $n \rightarrow \infty$ fue demostrado hace unos 40 años por Dixon. Así que casi todos los pares de elementos de $A_n$ generar $A_n$ .

En el caso $n=5$ ¿Cuál es la forma más fácil de encontrar todos los pares de elementos que NO generan el grupo completo?

Answer 1

Este es un método bastante fácil: Sólo he preguntado a GAP. :-)

Calcula las clases de conjugación de los no generadores. Muestra su tamaño, el grupo que generan (en lugar de A5) y los representantes de los generadores. Alrededor del 36% de los pares son no generadores.

``

gap> non:=Filtered(Combinations(AsSet(AlternatingGroup(5)),2),x->Size(Group(x))<60);;
gap> orbs:=Orbits(AlternatingGroup(5),non,OnSets);;
gap> PrintArray(List(orbs,o->\[Size(o),o\[1\]\]));
\[ \[ 20,      C3,               \[ (), (3,4,5) \] \],
  \[ 15,      C2,            \[ (), (2,3)(4,5) \] \],
  \[ 12,      C5,           \[ (), (1,2,3,4,5) \] \],
  \[ 12,      C5,           \[ (), (1,2,3,5,4) \] \],
  \[ 10,      C3,          \[ (3,4,5), (3,5,4) \] \],
  \[ 60,      A4,       \[ (3,4,5), (2,3)(4,5) \] \],
  \[ 60,      A4,          \[ (3,4,5), (2,3,4) \] \],
  \[ 30,      A4,          \[ (3,4,5), (2,3,5) \] \],
  \[ 60,      S3,       \[ (3,4,5), (1,2)(4,5) \] \],
  \[ 60,      A4,       \[ (3,4,5), (1,3)(4,5) \] \],
  \[ 30,      A4,          \[ (3,4,5), (1,3,5) \] \],
  \[ 15, C2 x C2,    \[ (2,3)(4,5), (2,4)(3,5) \] \],
  \[ 30,      S3,    \[ (2,3)(4,5), (1,2)(4,5) \] \],
  \[ 30,     D10,    \[ (2,3)(4,5), (1,2)(3,4) \] \],
  \[ 30,     D10,    \[ (2,3)(4,5), (1,2)(3,5) \] \],
  \[ 60,     D10,   \[ (2,3)(4,5), (1,2,4,5,3) \] \],
  \[ 60,     D10,   \[ (2,3)(4,5), (1,2,5,4,3) \] \],
  \[ 12,      C5,  \[ (1,2,3,4,5), (1,3,5,2,4) \] \],
  \[ 12,      C5,  \[ (1,2,3,4,5), (1,4,2,5,3) \] \],
  \[  6,      C5,  \[ (1,2,3,4,5), (1,5,4,3,2) \] \],
  \[  6,      C5,  \[ (1,2,3,5,4), (1,4,5,3,2) \] \] \]

Answer 2

Según Maple, hay $630$ tales pares en $A_{5}$ .

> with( GroupTheory ):
> L := select( gens -> GroupOrder( Group( gens ) ) < 60, combinat:-choose( Elements( Alt( 5 ) ), 2 )  ):
> nops( L );
                  630

> L[ 1 ];
            {1,  (3, 4, 5)}

> L[ 2 ];
        { (3, 4, 5),  (1, 3, 4)}

Se podría hacer un cálculo equivalente en otros sistemas de álgebra computacional como GAP o Magma.