Probar que: $\lim_{n\to\infty} f(n+1) - f(n) = \lim_{x\to\infty} (f(x))' $

Question

Suponemos que en algunas condiciones específicas, una diferenciación de la función da la siguiente igualdad: $$\lim_{n\to\infty} f(n+1) - f(n) = \lim_{x\to\infty} (f(x))' $$

Sin embargo, todavía no estoy seguro de lo que exactamente estas condiciones con el fin de conocer de forma precisa donde
Me puede aplicar esta regla o no. Si quieres echar un vistazo más de mi publicado problema aquí usted notará inmediatamente que esta regla se aplica para el caso. Realmente agradezco si me ayudan a aclarar esto.

Answer 1

Yo creo que el mínimo supuestos son:

1. $f \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ es diferenciable;
2. $\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ existe.

Entonces usted puede fácilmente comprobar que $$\lim_{n \to +\infty} f(n+1)-f(n)=\lim_{x \to +\infty} f'(x),$$ ya que se puede aplicar el teorema de Lagrange: $$f(n+1)-f(n)=f'(\xi_n)$$ for a suitable $\xi_n \en (n,n+1)$.

Yo creo que los dos límites no son equivalentes entre sí, ya que puede ser imposible para el control de $f'$ a partir de los valores de $f$ en puntos discretos.