Suavizado de una función de Sobolev

Question

Vamos $u \in H^1({\mathbb R}^n)$, $n \geq 2$. Deje $\varphi \in C^\infty_0({\mathbb R}^n)$$\varphi \geq 0$. Deje $\eta$ ser un suavizado kernel con $\eta \in C^\infty_0({\mathbb R}^n)$, $\eta \geq 0$, $\int \eta \,dx = 1$. Para $t > 0$, definir $\eta_t$$\eta_t(x)=\frac{1}{t^n}\eta(\frac{x}{t})$. Definir ${\tilde u}$ por $$ {\tilde u}(x)= \begin{cases} u(x); &\text{if } \varphi(x)=0, \\ \\ \int_{{\mathbb R}^n} \eta_{\varphi(x)}(y-x) u(y)\, dy; & \text{if } \varphi(x) > 0. \end{casos} $$

Mi pregunta es, es${\tilde u}$$H^1({\mathbb R}^n)$?

Answer 1

Vamos $$ {\tilde u}(x)= \begin{cases} u(x); &\text{if } \varphi(x)=0, \\ \\ \int_{{\mathbb R}^n} \eta_{\varphi(x)}(y-x) u(y)\, dy; & \text{if } \varphi(x) > 0. \end{casos} $$

Vamos a mostrar primero que $\widetilde u$$L^2(\mathbb R^n)$. En primer lugar vemos que el $\widetilde u$ $\mathbb R^n\smallsetminus\mathrm{supp}\,\varphi$ es idéntica a $u$, y para cada $x\in\mathrm{supp}\,\varphi$ $$ |\widetilde u(x)| \le \int_{\mathbb{R}^n}|\eta_{\varphi(x)}(y-x)|\, |u(y)|\, dy\le \|u\|_{L^2(\mathbb R)^n}\|\eta\|_{L^2(\mathbb R)^n}=M. $$ Por lo tanto $\widetilde u$ es una suma de un $L^2$-función y una limitada y de forma compacta compatible la función, y por lo tanto también una $L^2$-función. Por lo tanto $\widetilde u\in L^2(\mathbb R^n)$.

Siguiente, siguiendo con la idea de Davide Giraudo.

Está claro que $\widetilde u$ puede ser escrito como $$ J_\varphi[u](x)=\widetilde u(x)=\int_{\Bbb R^n}\eta(t)\,u\big(x+\varphi(x)t\big)\,dt. \etiqueta{1} $$ y si $u$ es lo suficientemente suave, luego \begin{align} \partial_j\widetilde u(x)&=\int_{\Bbb R^n}\eta(t)\,\Big(1+\sum_{k=1}^n\partial_k\varphi(x)t\Big)\partial_ju(x+\varphi(x)t)dt\\ &=\widetilde{\partial_j u}(x)+\sum_{k=1}^n \partial_k\varphi(x)\int_{\Bbb R^n}t\,\eta(t)\,\partial_ju\big(x+\varphi(x)t\big)\,dt, \end{align} y

$$ \int_{\Bbb R^n}t\,\eta(t)\,\partial_ju\big(x+\varphi(x)t\big)\,dt= \begin{cases} u(x)\int_{\mathbb R^n}t\,\eta(t)\,dt; &\text{if } \varphi(x)=0, \\ \\ \int_{{\mathbb R}^n} (y-x)\,\eta_{\varphi(x)}(y-x) \partial_j u(y)\, dy; & \text{if } \varphi(x) > 0. \end{casos} $$ No es difícil ver (utilizando argumentos similares) que $\widetilde{\partial_j u}\in L^2(\mathbb R^n)$.

Queda por explicar lo que sucede si $u$ no es suave.

En tales casse podemos encontrar liso $u^\varepsilon$, de tal manera que $u^\varepsilon\to u$, en el $H^1$-norma, y la simple comprobación de que se $u^\varepsilon-u^{\varepsilon'}$ tiende a cero, como $\varepsilon,\,\varepsilon'\to 0$, por lo que no $\widetilde u^\varepsilon-\widetilde u^{\varepsilon'}$.

Answer 2

No es una respuesta, pero hay algunas ideas. Tal vez pueda ayudar.

Podemos escribir $$\widetilde u(x)=\int_{\Bbb R^n}\eta(t)u(x+\varphi(x)t)dt,$$ ya que es verdad cuando $\varphi(x)=0$, y cuando no es el caso utilizamos una sustitución.

Al $u$ es una de las funciones de prueba, parece que $\widetilde u\in L^2(\Bbb R^n)$ y $$\partial_j\widetilde u(x)=\int_{\Bbb R^n}\eta(t)\sum_{k=1}^n\left(1+\partial_k\varphi(x)t\right)\partial_ju(x+\varphi(x)t)dt,$$ lo que demuestra que $\widetilde u\in H^1(\Bbb R^n)$.