Matriz de la norma en cuestión, normal matrices

Question

Deje $A^*$ denota el complejo conjugado de la transpuesta de una matriz $A$. En la norma Euclídea (operador de la norma), si $$\|A^*A+AA^*\|=2\,\|A^*A\|$$ demostrar/refutar eso $A$ es normal.

Answer 1

Considere la matriz $$ A= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1 & 0 &0\\ 0 &0& 10\end{pmatrix}$$ entonces $$AA^* = \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0 & 1 &0\\ 0 &0& 100\end{pmatrix},A^*A \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0 & 0 &0\\ 0 &0& 100\end{pmatrix}\quad\text{ and }\quad A^*A +AA^*=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0 & 1 &0\\ 0 &0& 200\end{pmatrix}. $$ Por eso, $A^*A$ $100$ como máximo autovalor y $A^*A+AA^*$ $200$ como máximo autovalor. Ya que estos son no negativos matrices simétricas (es decir,$A^*A$$A^*A+AA^*$), tenemos $\|A^*A+AA^*\| = 200$ $\|A^*A\|=100$ sin embargo $A$ no es normal.