Factorise el determinante $\det\Bigl(\begin{smallmatrix} a^3+a^2 & a & 1 \\ b^3+b^2 & b & 1 \\ c^3+c^2 & c &1\end{smallmatrix}\Bigr)$

Question

Factorise el determinante $\det\begin{pmatrix} a^3+a^2 & a & 1 \\ b^3+b^2 & b & 1 \\ c^3+c^2 & c &1\end{pmatrix}$.

Mi libro de texto sólo proporciona dos ejemplos sencillos.

Realmente no tienen idea de cómo hacer este tipo de preguntas..

Answer 1

$\det\begin{pmatrix} a^3+a^2 & a & 1 \\ b^3+b^2 & b & 1 \\ c^3+c^2 & c &1\end{pmatrix}$

$=\det\begin{pmatrix} a^3+a^2 & a & 1 \\ b^3+b^2-(a^3+a^2) & b-a & 1-1 \\ c^3+c^2-(a^3+a^2) & c-a &1-1\end{pmatrix} $ (aplicando $R_2'=R_2-R_1\ and\ R_3'=R_3-R_1$)

$=(b-a)(c-a) \det\begin{pmatrix} a^3+a^2 & a & 1 \\ b^2+a^2+ab+b+a & 1 & 0 \\ c^2+a^2+ca+c+a & 1 & 0\end{pmatrix}$

$=(b-a)(c-a)\cdot1\cdot \det\begin{pmatrix} b^2+a^2+ab+b+a & 1 & \\ c^2+a^2+ca+c+a & 1\end{pmatrix}$

$=(b-a)(c-a)(b-c)(a+b+c+1)$

Answer 2

Respecto a $b$ $c$ como constantes, y el determinante como un polinomio en $a$. A continuación, encontrar maneras de hacer que el determinante es igual a 0 y por el Teorema de Factor se obtendrá un factor determinante.

Las opciones obvias: set $a=b$ o $a=c$ y usted tendrá dos filas iguales, por lo $(a-b)$ $(a-c)$ son factores.

Podemos ver claramente que permuting las variables es el mismo que permuting las filas, y por lo tanto, sólo cambia el determinante de un signo. Por lo tanto permuting las variables de cualquier factor que le da otro factor, por lo $(b-c)$ es un factor.

Lo que queda? Así, podemos ver sin dificultad que el determinante es cúbica en $a$, y el coeficiente de $a^3$$(b-c)$. Ya hemos llevado a cabo un factor de $(b-c)$ y dos monic lineal de los factores, así que lo que queda es lineal y monic en $a$ y, por similares argumentos, también debe ser así en $b$$c$. De ahí que prácticamente tiene que ser $a + b + c + k$ para algunas constantes $k$. Así hemos llegado a la siguiente: $$\det\begin{pmatrix} a^3+a^2 & a & 1 \\ b^3+b^2 & b & 1 \\ c^3+c^2 & c &1\end{pmatrix}=(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c+k)$$ para algunos $k$, y todo lo que necesitas hacer es encontrar la $k$. Probé por primera vez el establecimiento $b=c=0$, pero que sólo te deja con $0k = 0$, en lugar de eso vamos a establecer $b=1$, $c=0$: $$\begin{align} \det\begin{pmatrix} a^3+a^2 & a & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 &1\end{pmatrix}&=a(a-1)(a+1+k) \\ \det\begin{pmatrix} a^3+a^2 & a \\ 2 & 1\end{pmatrix}&=a(a-1)(a+1+k) \\ a^3 + a^2 - 2a y=a(a-1)(a+1+k) \\ a^2 + a - 2 y= (a-1)(a+1+k)\end{align}$$ La comparación de términos constantes, $-2 = -1-k$$k=1$, y ¡listo!

Answer 3

$$\begin{align*} \det\begin{pmatrix} a^3+a^2 & a & 1 \\ b^3+b^2 & b & 1 \\ c^3+c^2 & c &1\end{pmatrix} & = \det\begin{pmatrix} a^2 & a & 1 \\ b^2 & b & 1 \\ c^2 & c &1\end{pmatrix}+\det\begin{pmatrix} a^3 & a & 1 \\ b^3 & b & 1 \\ c^3 & c &1\end{pmatrix}\\ & = -(a-b)(b-c)(c-a) -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\\ &= (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c+1) \end{align*}$$

ver matriz de Vandermonde

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Hola chicos, la edición de mi post para abordar las preocupaciones. Tienes razón, yo no he puesto en todos los detalles porque yo pensaba que el método estaba claro que una vez que has visto Vandermonde Determinantes. Aquí está explícitamente: $$\begin{align*} \det\begin{pmatrix} a^3 & a & 1 \\ b^3 & b & 1 \\ c^3 & c &1\end{pmatrix} & = \det\begin{pmatrix} a^3+(b+c)a^2 & a & 1 \\ b^3 +(a+c)b^2& b & 1 \\ c^3+(a+b)c^2 & c &1\end{pmatrix}\\ & = \sum_{cyc}\det\begin{pmatrix} a^3 & a & 1 \\ ab^2 & b & 1 \\ ac^2 & c &1\end{pmatrix} & \\ &= \sum_{cyc}\det\begin{pmatrix} a^2 & a & 1 \\ b^2 & b & 1 \\ c^2 & c &1\end{pmatrix} \end{align*}$$ (En este punto hemos demostrado el resultado.)

Bueno, así que supuse que intuitivamente que $$\det\begin{pmatrix} (b+c)a^2 & a & 1 \\ (a+c)b^2& b & 1 \\ (a+b)c^2 & c &1\end{pmatrix}=0$$, Pero es fácil de demostrar, por encontrar el vector propio: $$\begin{pmatrix}1 \\ -(ab+bc+ca) \\ abc\end{pmatrix}$$