Cómo ir sobre la solución de esta integral definida

Question

¿Cómo ir sobre la solución de la siguiente integral: $$\int_0^{\pi/2} (\sin x)^{\cos x} (\cos x \cot x - \log (\sin x)^{\sin x})\, dx$$

Dando un primer intento no ayuda como punto de partida no puede ser comprendido es decir, que deflectores que cómo y por dónde empezar. La sugerencia es sustituto $u =(\sin x)^{\cos x}$, entonces lo que queda por ser calculada es $\frac {d}{dx} (\sin x)^{\cos x}$ que es un problema en sí mismo, como es la diferenciación de función exponencial de una función. Pensamientos:

Answer 1

Sugerencia:Tome $u={\sin x}^{\cos x}$ y encontrar $du$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$d\left( (\sin x)^{ \cos x } \right) =(\sin x)^{ \cos x }(\cos x\cot x-\log (\sin x)^{ \sin x })dx$$ (you can check it) so from Newton- Leibniz formula we can conclude that $$\\ \\ \\ \int _{ 0 }^{ \pi /2 } \left( \sin x \right) ^{ \cos x }\left( \cos x\cot x-\log \left( \sin x \right) ^{ \sin x } \right) dx=\left( \sin { \frac { \pi }{ 2 } } \right) ^{ \cos { \frac { \pi }{ 2 } } }-{ \left( \sin { 0 } \right) }^{ \cos { 0 } }=1-0=1\\ $$