$a+b+c = 13$; si $b/a=c/b$, hallar los valores máximo y mínimo de $a$ y la correspondiente a $b$ $c$

Question

Pregunta :

La suma de $3$ enteros $a,b$$c$$13$. Si $\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}$, hallar los valores máximo y mínimo de $a$ y la correspondiente a$b$$c$.

Para abordar este problema yo deje $x=\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}$ porque quería crear una ecuación cuadrática con el fin de utilizar el discriminante teorema. A partir de la ecuación anterior puedo deducir que $b=ax$$c=ax^2$. Debido a $a+b+c=13$.

Por lo tanto; $$a+ax+ax^2=13$$ $$\implies 1+x+x^2-\frac{13}{a} = 0 $$ (where $un \ne 0$, $b \ne 0$, $c \ne 0$)

Sólo puedo trabajar hasta aquí. No sé cómo utilizar el discriminante teorema de trabajar el máximo y el mínimo de $a$, $b$ y $c$.

Answer 1

Así que si a, b y c son enteros (según la última edición a la pregunta) entonces x es real y racional. Y si la solución a $$ax^2 + ax + (a-13)=0$$ es real y racional, a continuación, su discriminante debe ser un cuadrado perfecto. Así que usted está buscando para los valores de a que hacen $$a^2 - 4a(a-13)$$ un cuadrado perfecto. Como se muestra en otros lugares, debe estar entre 0 y 17, por lo que hay un número finito de posibilidades para comprobar. Y puede eliminar cualquier solución que tiene a=0 o b=0. No olvide que para cada uno de los candidatos valor para el que usted encontrará que hay 2 posibles valores de x, y así 2 posibles valores de b y c.

Answer 2

∵ $x=b/a$ es una solución de (1)

∴ (1) tiene al menos una solución.

$△=1-4(1-(13/9))≥0$

$52/a≥3...(2)$

A partir de (2) $a>0$ $52/3≥a$

$∴0<a≤52/3$

$1<a≤17$

Mínimo de $a=1$ y un máximo de $a =17$.

Sub estos valores de $a$ a (1) para encontrar los correspondientes máximo y mínimo de b y c.