Integral de la $\frac{(2t+1)e^{2t}}{(t+1)^2}$

Question

$$\frac{(2t+1)e^{2t}}{(t+1)^2}$$ Me encontré con esta integral para resolver una ecuación diferencial, pero no tengo ni idea de cómo integrar este. Sé que la respuesta debería ser $e^{2t}/(t+1)$. He tratado de sustitución e integración por partes, pero no parecen hacer que el problema sea más fácil. He intentado añadir otro $e^{2t}$ y restando después (como la adición de cero), pero esto también parecía que el problema más difícil.

Hay un método estándar para este tipo de integral?

Answer 1

Así la (muy) de forma rápida, sería la observación de que: $$\left( \frac{e^{2t}}{t+1} \right)' = \frac{\left( 2t+1 \right) e^{2t}}{\left( t+1 \right)^2}$$ pero usted no puede ver este querer, o no, depende de ser capaz de ver esto.

Deje $u=t+1 \iff t = u-1$ para obtener: $$\int \frac{\left( 2t+1 \right) e^{2t}}{\left( t+1 \right)^2} \,\mbox{d}t = \int \frac{\left( 2u-1 \right) e^{2u-2}}{u^2} \,\mbox{d}u $$ Ahora puede continuar con la integración por partes. ¿Eso ayuda?

Answer 2

Establecimiento $$t+1=u$$, a continuación, obtenemos $$du=dt$$ and $$t=u-1$$ y nuestros integral está dada por $$\int\frac{(2u-1)e^{2(u-1)}}{u^2}du$$ se puede proceder? y esta integral no puede expresado por las conocidas funciones elementales

Answer 3

SUGERENCIA

Vamos a integrar por partes.

con:

$$f(t)={(2t+1)e^{2t}}$$

$$g'(t)=\frac{1}{(t+1)^2}\implies g(t)=-\frac{1}{(t+1)}$$

Answer 4

Tenga en cuenta que $f$ es una fracción con un denominador de una plaza: $(t+1)^2$. Buscando en el numerador, vemos algo similar a $t+1$ (es decir, $2t+1$) multiplicado por el $e^{2t}$. Tanto estas son las características del cociente regla: $$\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$ De modo que podemos tratar como un ansatz $$\frac{e^{2t}}{t+1}$$ y la diferenciación de esto da $f$. Puede no ser tan afortunado como este en general, sin embargo.