Deje $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ wehre $N=2,3$ ser un dominio de Lipschitz. Definir $$H=\{u\in L^2(\Omega)^N:\ \operatorname{div}u=0\ \mbox{and}\ \ \gamma(u)=0 \}$$
$$V=\{u\in H_0^1(\Omega):\ \operatorname{div}u=0\}$$
donde $\gamma$ se define como en esta respuesta. Se sabe que $V\subset H\subset V^\star$ es una de Hilbert triple.
La Stokes operador $A:D(A)\to H$ está definido por $$\langle Au,v\rangle_{V^\star,V}=\int\nabla u\cdot\nabla v$$
donde $D(A)=\{u\in V:\ Au\in H\}$. Es bueno saber que la Stokes operador (ver aquí el capítulo IV), satisface todas las hipótesis del Teorema Espectral para operadores no acotados, por lo tanto, poseen una secuencia positiva (debido a $A$ es positivo) autovalores $\lambda_k$, lo que tiende a $\infty$. Por lo tanto, es posible definir $D(A^s)$ todos los $s\geq 0$, en el hecho de $$D(A^s)=\{u\in H:\ \sum\lambda_k^{2s}(u,w_k)^2_H<\infty\}$$
donde $w_k$ son las funciones propias y $A^s u=\sum \lambda_k^s(u,w_k)w_k$. Definir $V_{s}= D(A^{s/2})$, y la tomamos en $V_s$ norma $\|u\|=\|A^s u\|_2$. Si $\Omega\in C^{1,1}$, a continuación, los autores de la última citación muestran en la Proposición IV.5.10$V_s= V\cap H^s(\Omega)^N$$s\in [1,2]$.
Por otro lado, en este libro de la página 161, los autores definen $V^s$ ( $s\in [1,2]$ ) como el cierre de la $\{u\in C_0^\infty (\Omega):\ \operatorname{div}(u)=0 \}$ $H_0^1(\Omega)\cap H^s(\Omega)$ con la norma $\sqrt{\|\cdot\|^2_{H_0^1}+\|\cdot\|^2_{H^s}}$.
Ahora, tengo dos preguntas:
I - Es $V^s=V_s$?
II - Si $I$ es falso, puedo tener al menos $V_s\subset H_0^1(\Omega)\cap H^s(\Omega)$ continuamente integrada?
Gracias
