He leído una frase diciendo: "cualquier subconjunto medible de $\mathbb{R}$ puede ser asignada a un intervalo de una medida de preservación de la transformación, que no aumente las distancias" Aquí la medida es la medida de Lebesgue y la distancia es la distancia estándar. ¿Hay alguna referencia de esto? Gracias!
Respuesta
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Primero de todo, por el uso de algo como $f(x)=\arctan x$ (que disminuye las distancias), podemos hacer un mapa de nuestro conjunto bijectively a un conjunto acotado. Para un conjunto de $A\subseteq [a,b]$, lo que ahora podemos aplicar el mapa $A\to [0,|A|]$, $x\mapsto |A\cap[a,x]|$, que tiene las propiedades requeridas.
