¿Por qué el límite de $\frac{\log n}{n} \int_2^n \frac{1}{\log x} d x $ es $1$ ?

Question

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log n}{n} \int_2^n \frac{1}{\log x} d x = 1 $$ He intentado encontrar la integral pero la integral por sí misma no converge. Al aplicar el Teorema del Valor Medio puedo encontrar que un lado de mi desigualdad es igual a 1 pero no puedo demostrar la igualdad.

Answer 1

La integración por partes da $$ \begin{align} &\int_2^n\frac{\mathrm{d}x}{\log(x)}\\ &=\left.\frac{x}{\log(x)}\right]_2^n+\int_2^n\frac{\mathrm{d}x}{\log(x)^2}\\ &=\frac{n}{\log(n)}-\frac{2}{\log(2)}+O\!\left(\frac{n}{\log(n)^2}\right)\tag{1} \end{align} $$ La estimación big-O es válida ya que para $n\ge e^3$ , $$ \begin{align} \int_2^n\frac{\mathrm{d}x}{\log(x)^2} &=\int_2^{e^3}\frac{\mathrm{d}x}{\log(x)^2}+\int_{e^3}^n\frac{\mathrm{d}x}{\log(x)^2}\\ &\le\int_2^{e^3}\frac{\mathrm{d}x}{\log(x)^2} +3\int_{e^3}^n\left(\frac1{\log(x)^2}-\frac2{\log(x)^3}\right)\mathrm{d}x\\ &=\int_2^{e^3}\frac{\mathrm{d}x}{\log(x)^2} +3\left[\frac{x}{\log(x)^2}\right]_{e^3}^n\\ &=\int_2^{e^3}\frac{\mathrm{d}x}{\log(x)^2} -\frac{e^3}3+3\frac{n}{\log(n)^2}\tag{2} \end{align} $$ Multiplicar $(1)$ por $\frac{\log(n)}{n}$ y tomar el límite como $n\to\infty$ .

Answer 2

Por L'Hospital,

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log n}{n} \int_2^n \frac{1}{\log x} d x = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1/\log(n)}{\frac{d}{d n} \frac{n}{\log n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1/\log(n)}{1/\log(n) - 1/\log(n)^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1- 1/\log(n)} = 1 $$