Dejemos que $u\in\mathcal{C}^{2,1}(\mathbb{R}^n\times (0,\infty))$ sea una solución de la ecuación de calor $$\left[\begin{array}{ll}u_t-\Delta u=0& \mathrm{in}\ \mathbb{R}^n\times(0,\infty)\\ u(x,0)=u_0(x),&x\in\mathbb{R}^n\end{array}\right.$$ donde $u_0\in\mathcal{C}^0_c(\mathbb{R}^n)$ . Las condiciones de contorno anteriores se entienden en el siguiente sentido: $\lim_{t\to 0, x\to x_0}u(x,t)=u_0(x_0)$ para todos $x_0\in\mathbb{R}^n$ . Si asumimos de antemano que $|u|\to 0$ como $|x|\to\infty$ entonces se cumple la siguiente relación para todo $t>0$ : $$\|u(\cdot,t)\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\leq\|u_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}.$$ ¿Cómo se demuestra este resultado? Estoy obligado a utilizar un método de energía de donde empecé con $E(t):=\int_{\mathbb{R}^n}u(x,t)^2dx$ e intentó demostrar que esta función es diferenciable para $t>0$ con derivada no positiva. Por lo tanto, introduje $\Omega_n:=B_n(0)$ y se considera $E_n(t):=\int_{\Omega_n}u(x,t)^2dx$ (aunque no me queda claro por qué la derivada de $E_n$ converge a la de $E$ ). Diferenciando $E_n$ y utilizando la EDP así como la integración por partes llego a $$E_n'(t)=\int_{\Omega_n}2uu_tdx=2\int_{\Omega_n}2u\Delta udx=-2\int_{\Omega_n}|\nabla u|^2dx+2\oint_{\partial\Omega_n}u\frac{\partial u}{\partial\nu}dS.$$ ¿Cómo proceder? Aunque sé que el módulo de $u$ converge a 0, no sé cómo concluir algo similar para la derivada normal. ¿Es razonable este ansatz después de todo? ¡Gracias de antemano!
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Julián Aguirre
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Desde $u_0$ tiene soporte compacto, se deduce que $u$ y sus derivadas decaen al infinito. Esto justifica su argumento.
Se puede llegar a la misma conclusión utilizando ese $$ u=G_t\ast u_0, $$ donde $$ G_t(x)=(4\,\pi\,t)^{-n/2}\,e^{-|x|^2|/4t} $$ es el núcleo de calor: $$ \|u\|_2=\|G_t\ast u_0\|_2\le\|G_t\|_1\,\|u_0\|_2=\|u_0\|_2. $$
