Demostrar que $e>2$ geométricamente.

Question

Q: Demuestra que $e>2$ geométricamente.

Intento: Solo conozco una definición formal de $e$ que es $\lim_\limits{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n=e$. De alguna manera puedo entender que esto está relacionado con la rotación en el plano complejo. $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Por lo tanto, tenemos $$e^{i\pi}=-1$$ Pero ¿cómo puedo obtener el valor de $e$ cuando muestro esta rotación en una figura geométrica?

Cualquier pista es apreciada.

EDICIÓN: Según los comentarios, estoy haciendo una pequeña adición a la pregunta que no afectará las respuestas existentes. Es que, como definición de $e$, se puede usar cualquier definición que no utilice el hecho de que $2

Answer 1

En esta imagen

podemos ver que $$ \color{#00A000}{1}+\color{#C000C0}{x}\le\left(1+\frac x2\right)^2 $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} 1+1 &\le\left(1+\frac12\right)^2\\ &\le\left(1+\frac14\right)^4\\ &\le\left(1+\frac18\right)^8\\ &\dots\\ &\le\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{2^n}\right)^{\large2^n}\\[9pt] &=e \end{align} $$

Answer 2

Una definición mejor (o al menos alternativa) de $e$ es la siguiente:

Sea $$ L(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt $$ $L$ está bien definida para $x$ positivo por el teorema fundamental del cálculo.

Con un poco de trabajo, se puede mostrar que $L$ es sobreyectiva sobre $R$, y dado que es claramente creciente y continua, también es inyectiva. Por lo tanto, tiene una inversa, $E$. Por lo general, $L$ se conoce como $\ln$ y $E$ se conoce como $\exp$.

Entonces, $e = E(1)$ define una nueva constante, llamada constante de Euler.

Para demostrar que $e > 2$, solo necesitas mostrar que $L(2) < 1$. Puedes hacer esto calculando una cota superior para la integral que es $L(2)$, es decir, $\int_1^2 \frac{1}{t} dt$, usando la partición $1, 1.5, 2$; y los extremos izquierdos como puntos de muestra (porque $y = 1/x$ es una función decreciente). La integral superior es entonces $$ \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{6} < 1, $$ y ya está, porque la integral no es mayor que ninguna de sus integrales superiores.

Answer 3

Se puede dar una representación geométrica simple notando que $ e = f(1) $ para una función $ f(x) $ tal que $ f'(x) = f(x) $ y $ f(0) = 1 $ (Esto puede ser una definición de $ e $ derivada de la definición de la función exponencial como la función que representa un crecimiento exponencial).

Así, representando una aproximación gráfica de la función (una representación del Método de Euler), como en la figura, podemos ver que $ f(1) = e > 2 $

Answer 4

Puedes darle una interpretación (híper)geométrica a la desigualdad

$$(1+x)^n\gt 1+nx\quad\text{cuando }n\ge2$$

al ver el lado izquierdo como el volumen de un hipercubo $n$-dimensional con lados de longitud $1+x$ y el lado derecho como la suma de los volúmenes del hipercubo unitario y de los $n$ hiperrectángulos de tamaño $1\times1\times\cdots\times1\times x$. Sustituir $x=1/n$ lleva a la desigualdad $e\gt2$.

Answer 5

Si $f(x)$ es una función convexa, entonces:

$$f(x + h) \geq f(x) + h f'(x)~\forall x, \forall h > 0. ~~~~(1)$$

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Sabemos que la función $f(x) = e^x$ tiene una propiedad geométrica importante:

la pendiente en cualquier punto es igual a la función en sí misma

También sabemos que $f(x)$ es positiva debido a la exponenciación. Esto implica que es convexa, ya que $f(x)'' = f'(x) = f(x) > 0$ (gracias a A.S. por este punto).

Entonces, (1) se cumple para $f(x) = e^x$. Es decir:

$$f(x + h) \geq f(x) + h f'(x)~\forall x, \forall h > 0 \Rightarrow \\ f(x + h) \geq (1+h)f(x)~\forall x, \forall h > 0.$$

Si elegimos $x=h=1$, entonces:

$$f(2) \geq 2f(1) \Rightarrow \\ e^2 \geq 2e \Rightarrow \\ e \geq 2.$$