La noción de una "categoría de Ser" que Lawvere discute no es la idea de que, más recientemente, él ha estado llamando a una categoría de cohesión . Voy a tratar de aclarar un poco lo que está pasando .
Voy a restringir el caso de que la categoría es un topos y decir cohesionada "topos" para abreviar. Este es un topos que satisface una pequeña colección de sencillos, pero poderosos, los axiomas que se supone que asegurarse de que sus objetos siempre puede ser pensado como geométricas de los espacios construidos de puntos que están equipados con "cohesionada" de la estructura (por ejemplo, estructura topológica, o suave, estructura, etc.). Así que la idea es axiomatize gran toposes en el que la geometría puede tener lugar.
Más detalles y referencias se puede encontrar aquí:
http://nlab.mathforge.org/nlab/show/cohesive+topos .
Vamos a caminar a través de su artículo:
Un axioma en un grupo cohesivo topos de $\mathcal{E}$ es que el global de la sección geométrica de morfismos $\Gamma : \mathcal{E} \\mathcal{S}$ a la base de topos de $\mathcal{S}$ tiene una más a la izquierda adjunto $\Pi_0 := \Gamma_! : \mathcal{E} \\mathcal{S}$ a su imagen inversa de $\Gamma^{\ast}$, lo que voy a escribir $\mathrm{Disc} := \Gamma^{\ast}$, por las razones que se examinan a continuación. Este extra a la izquierda adjunto tiene la interpretación que envía cualquier objeto $X$ para el conjunto $\Pi_0(X)$ "de los componentes conectados". Lo Lawvere llama a un objeto conectado en el artículo (p. 4) es, por tanto, uno que es enviado por $\Pi_0$ a la terminal de objeto.
Otro axioma es que $\Pi_0$ conserva finito de productos. Esto implica por lo anterior que la colección de objetos conectados a es cerrado bajo finito de productos. Este aparece en la página 6. Lo que él menciona no con referencia a Hurewicz es que, dado un topos con $\Pi_0$, se convierte en canónicamente enriqueció a lo largo de la base de topos en una segunda manera, de una forma geométrica.
Yo creo que esto, al igual que varios otros aspectos de cohesión en el toposes, hace honor a toda su pertinencia como hacemos el evidente paso a cohesivo $\infty$-toposes. Más detalles sobre este están aquí
http://nlab.mathforge.org/nlab/show/cohesive+(infinity,1)-topos
(Pero tenga en cuenta que, aunque inspirado por Lawvere, no es debido a él.)
En este más amplio contexto de la extra a la izquierda adjunto $\Pi_0$ se convierte en $\Pi_\infty$, que acabo de escribir $\Pi$: envía, se puede demostrar que, cualquier objeto a su geométricas fundamentales $\infty$-groupoid, para un concepto geométrico de caminos intrínseco a la $\infty$-topos. El hecho de que este conserva finito productos, entonces se dice que hay una noción de concordancia de principal de $\infty$-paquetes en la $\infty$-topos.
El siguiente axioma en un grupo cohesivo topos dice que también hay un derecho adjoint $\mathrm{coDisc} := \Gamma^! : \mathcal{S} \\mathcal{E}$ a la sección global functor. Esto hace que en total un adjunto cuádruple
$$
(\Pi_0 \dashv \mathrm{Disc} \dashv \Gamma \dashv \mathrm{coDisc}) :=
(\Gamma_! \dashv \Gamma^* \dashv \Gamma_* \dashv \Gamma^!) : \mathcal{E} \\mathcal{S}
$$
y otro axioma requiere que tanto $\mathrm{Disc}$ y $\mathrm{coDisc}$ son plena y fiel.
Esto es lo que Lawvere está hablando de la parte inferior de la p. 12. La baja functor que él menciona es de $\Gamma : \mathcal{E} \\mathcal{S}$. Esto tiene la interpretación de enviar un cohesivo espacio a su conjunto subyacente de puntos, como se ve por la base de topos de $\mathcal{S}$. La izquierda y la derecha adjunto inclusiones son $\mathrm{Disc}$ y $\mathrm{coDisc}$. Estos tienen la interpretación de envío de un conjunto de puntos del espacio correspondiente equipados con discretos de cohesión o codiscrete (indiscreta) cohesión . Por ejemplo, en el caso de que cohesivo de la estructura topológica de la estructura, este será el discreto y topología la topología indiscreta, respectivamente, de un conjunto dado. Ser completo y fiel, $\mathrm{Disc}$ y $\mathrm{coDisc}$ por lo tanto $\mathcal{S}$ una subcategoría de $\mathcal{E}$ en dos formas (p. 7), aunque sólo la imagen de $\mathrm{coDisc}$ también será un subtopos, como se menciona en la página 7.
(Esto, por cierto, una implicación importante que Lawvere no parece mencionar: implica que tenemos derecho a la correspondiente cuasi-topos de separados bipresheaves, inducida por la segunda topología inducida por la sub-topos. Que, uno puede mostrar, puede ser identificada con la colección de hormigón poleas, por lo tanto hormigón cohesivo espacios (aquellos cuya cohesión es de hecho el apoyo de sus puntos). En el caso de la cohesivo topos de la geometría diferencial, los objetos concretos en este sentido, son precisamente los diffeological espacios . )
Él llama a la subtopos dado por la imagen de $\mathrm{coDisc} : \mathcal{S} \\mathcal{E}$ que de "puro Convirtiendo en" más abajo en la página. 7, mientras que la subcategoría de objetos discretos que él llama de "no Convertirse". Mi manera de entender esta terminología (que puede no ser exactamente lo que él significa) es este:
mientras que el viejo $\infty$-topos es una colección de espacios con la estructura , cohesionada, $\infty$-topos viene con el extra adjunto $\Pi$, que me dijo que tiene la interpretación de enviar cualquier espacio en su camino $\infty$-groupoid. Por lo tanto, no es intrínseco a la noción de trazados geométricos en cualquier cohesivo $\infty$-topos. Esto permite, en particular, para definir el transporte paralelo a lo largo de los caminos y trayectorias más altas, por lo tanto, un tipo de dinámica . De hecho, no hay diferencia de cohomology en cada cohesivo $\infty$-topos.
Ahora, en un objeto independiente no hay no-trivial de caminos (formalmente debido a que $\Pi \; \mathrm{Disc} \simeq \mathrm{Id}$ por el hecho de que $\mathrm{Disc}$ es completa y fiel), por lo que no hay "dinámica" en un objeto independiente de ahí el "no" quedar, si lo desea. Por el contrario, en un codiscrete objeto de cada secuencia de los puntos de alguna cuenta como un camino, de ahí la distinción entre el espacio y su "dinámica" desaparece y así tenemos el "puro devenir", si así lo desea.
En adelante. Notificación siguiente de que cada adjoint triple induce un adjunto un par de comonad y una monada. En la situación actual tenemos
$$
(\mathrm{Disc} \;\Gamma \dashv \mathrm{coDisc}\; \Gamma) : \mathcal{E} \\mathcal{E}
$$
Esto es lo que Lawvere llama el esqueleto y la coskeleton en la p. 7. En el $\infty$-topos contexto de la izquierda adjunto $\mathbf{\plana} := \mathrm{Disc} \; \Gamma$ ha la interpretación de enviar a cualquier objeto $A$ a el coeficiente de cohomology de los sistemas locales con coeficientes en $Un$.
El párrafo envoltorio de la página 7 a 8 comentarios sobre la posibilidad de que la base de topos de $\mathcal{S}$ no es sólo la de los conjuntos, pero algo más rico. Un ejemplo de esto que yo soy una especie de cariño es la de super cohesión (en el sentido de superalgebra y supergeometry): el topos de suave super-geometría es cohesivo, sobre la base de topos desnuda de la super-sets.
Lo que sigue en la página 9 son los pensamientos de los que no soy consciente de que Lawvere más tarde ha formalizado más de ellos. Pero, a continuación, en la parte inferior de la p. 9 llega a la axiomática de identificación de infinitesimales o espacios formales en la cohesivo topos. En su artículo más reciente en este lo que dice aquí en la página. 9 se formaliza de la siguiente manera: se dice que un objeto $X \in \mathcal{E}$ es infinitesimal, si la canónica de morfismos $\Gamma X \a \Pi_0 X$ es un isomorfismo. A ver qué significa esto, suponga que $\Pi_0 X = *$, de ahí que $X$ es conectado. A continuación, el isomorfismo condición significa que $X$ tiene exactamente un global de punto. Pero $X$ puede ser más grande: puede ser formal barrio de ese punto, por ejemplo, puede ser de $\mathrm{Spec} \;k[x]/(x^2)$. General $X$ que $\Gamma X \a \Pi_0 X$ es un iso es, por lo tanto distinto de la unión de formal barrios de puntos.
De nuevo, el significado de este se vuelve más pronunciada en el contexto de cohesión en $\infty$-toposes: hay objetos de $X$ que $\Gamma X \simeq * \simeq \Pi X$ tiene la interpretación de ser formal $\infty$-groupoids , por ejemplo formalmente exponentiated $L_\infty$-álgebras. Y así hay $\infty$-Mentira teoría canónicamente en cada cohesivo $\infty$-topos.
Voy a dejar aquí. Tengo una discusión más detallada de todo esto en:
http://nlab.mathforge.org/schreiber/show/differential+cohomology+en+un+cohesivo+topos
