La forma de Lagrange para una partícula libre

Question

Sólo me he registrado aquí, y estoy muy contento de que por fin he encontrado un lugar para las preguntas.

He pequeña pregunta acerca de la Mecánica Clásica, el Lagrangiano de una partícula libre. Acabo de leer que ha obtenido el de Lagrange para una partícula libre blog. Así que, si estoy en lo correcto, tenemos, que el libre partícula se mueve con una velocidad constante en el marco inercial y también que

$$ \vec{0}~=~\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\parcial \vec{v}} ~=~\frac{d }{dt} \left(2\vec{v}~\ell^{\prime}\right) $$

$\ell^{\prime} $ $\frac{\partial L}{\partial v^2}$ .Por lo tanto $$ \vec{c}~=~\left(2\vec{v}~\ell^{\prime}\right) $$

Así, estas dos declaraciones significa que $\ell^{\prime}$ es constante, por lo $$L~=~ \ell(v^2)~=~\alpha v^2+\beta, $$

¿No es esto suficiente para derivar el lagrangiano de una partícula libre. Si sí (pero estoy seguro de que no) ¿por qué Landau, el uso de la transformación de Galileo fórmulas etc para derivar la fórmula.

Muchas gracias!

Answer 1

La respuesta es No, OP argumento(v1) no es suficiente para derivar la Lagrangiana para un no-relativista partícula libre. Es cierto que la constante de movimiento mencionados por OP

$$\vec{c}~:=~\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}~=~2\vec{v}~\ell^{\prime}$$

no depende del tiempo $t$. (De hecho, es la canónica/conjugar impulso, que en general es diferente de la mecánica/kinetic momentum $m\vec{v}$.) Sin embargo, $\vec{c}$ podría todavía dependen por ejemplo, la velocidad inicial de la partícula (que es también la velocidad de $\vec{v}$, ya que sabemos que la velocidad es constante para una partícula libre, cf. por ejemplo, la primera parte de la respuesta).

Esta es tal vez la mejor ilustrado por tomar un ejemplo sencillo, decir

$$L~=~\ell(v^2)~=~ v^4.$$

Entonces

$$\vec{c}~=~2\vec{v}~\ell^{\prime} ~=~4\vec{v}~v^2,$$

que es una constante de movimiento, como debe ser.