Deje $\mathbb R$ ser los reales y $\mathbb R[x]$ ser el polinomio anillo de una variable con coeficientes reales. Deje $I$ ser el principal ideal de $(x(x^2+1))$. Quiero demostrar que el ideal de los ideales variedad no es la misma que la de su radical, es decir, $I(V(I))\not=\text {rad}(I)$. He bajado para probar que $I=\text{rad}(I)$. ¿Cómo puedo ir?
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citedcorpse
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Esta $x(x^2 + 1)$ es la factorización del polinomio que en irreducibles ( $\mathbb{R}$ ). Una vez que usted tiene una factorización, el radical es la factorización sin poderes. Así es radical.
EDIT - me refiero a esto:
Deje $f \in k[x]$ ser un polinomio, y supongamos que $f = f_1^{\alpha_1} \cdots f_n^{\alpha_n}$ es la factorización de $f$ en irreducibles. A continuación,$\sqrt{(f)} = (f_1 \ldots f_n)$.
Uno inclusión debe ser claro, y el otro puede ser visto por apelar a la unicidad de la factorización en $k[x]$.
Deje $f\in{\rm rad}( I)$, $f^n\in I$. También se puede pensar sobre el complejo campo: $f=a_n(x-z_1)(x-z_2)\dots (x-z_n)$ algunos $z_j\in\Bbb C$. A continuación, $f^n\in I$ significa que entre las raíces complejas de $f^n$ también encontramos las raíces de la $x(x^2+1)$, es decir, $-i,0,i$. Pero eso significa que ya teníamos $f\in I$.
