Parabólico PDE existencia y unicidad

Question

Considerar la parabólica de la PDE: $$\frac{\partial u}{\partial t} = u^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + u^3$$ con algunos condición inicial.

Al parecer, este es un sencillo parabólico de la PDE en la que me puedo aplicar el estándar de los resultados para demostrar que a corto plazo la existencia y uniquness. ¿Puede alguien decir/referirme a estos resultados estándar, por favor? La ecuación no es lineal y no he visto ninguna teoría no-lineal de los resultados.

Gracias

Answer 1

Voy a suponer que los datos iniciales es suave. Primero definimos la energía adecuados (esto depende de oyur problema, pero por lo general es suficiente para tomar un alto orden de Sobolev norma). Por ejemplo, tomamos $E[u]=\|u\|_{H^1}$. Ahora podemos obtener un a priori obligado para esta energía. Multiplicando la ecuación por u e integrando por partes obtenemos $$ \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u(t)\|_{L^2}^2=\int u u_t=\int u^3 u_{xx}+u^4=\int -3(u_x)^2u^2+u^4 $$ $$ \leq \|u\|_{L^2}^2\|u\|_{L^\infty}^2\leq C\|u\|_{H^1}^4 \text{ (por la incrustación de Sobolev)}. $$ Ahora tomamos un derivado y seguir de la misma manera: $$ \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u_x(t)\|_{L^2}^2=\int u_x u_{xt}=\int 2u(u_x)^2u_{xx}+u^2u_xu_{xxx}+3u^2(u_x)^2= $$ Integramos por partes en el segundo término y tenemos $$ \int u^2u_xu_{xxx}=-\int u^2(u_{xx})^2-2u(u_x)^2u_{xx}. $$ La inserción de este en la ecuación anterior obtenemos $$ \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u_x(t)\|_{L^2}^2\leq3\|u\|_{L^\infty}^2\|u_x\|_{L^2}^2\leq C\|u\|_{H^1}^4. $$ La recogida de ambas estimaciones, obtenemos $$ \frac{d}{dt}\|u\|_{H^1}\leq C\|u\|_{H^1}^3, $$ y podemos utilizar la desigualdad de Gronwall para obtener $$ \sup_{t\[0,T)}\|u(t)\|_{H^1}\leq C(u_0), $$ por un tiempo explícito $T=T(u_0)$.

A la conclusión de que el argumento debe regularizar el sistema. Normalmente, usted debe tomar algunas circunvoluciones con la habitual mollifier para que el operador de la derivada es limitado en esta espacios de Sobolev. Si usted toma el correcto sistema regularizado los mismos límites espera y usted tiene suficiente compacidad, para garantizar la existencia de un suave límite que es también una solución.

Todas estas técnicas son bastante estándar, y me remito al libro de A. Majda y A. Bertozzi "Vorticidad y incompressible flow" (Capítulo 3).

Espero que esto sea de utilidad para usted.

Answer 2

Una teoría estándar se puede encontrar en, por ejemplo, Ladyženskaja, O. A.; Solonnikov, V. A.; N. N., de los Urales'ceva (1968), Lineal y cuasi-lineal de ecuaciones de tipo parabólico.