¿Es generalmente cierto que si $|P(A)|=|P(B)|$ entonces $|A|=|B|$ ? ¿Por qué? Gracias.
El teorema de Easton es exagerado aquí. El modelo original de Cohen para ZFC + $\neg$ La CH tenía $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}=\aleph_2$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Tu pregunta es indecidible en ZFC. Si asumes la hipótesis del continuo generalizado, entonces lo que afirmas es cierto. Por otro lado Teorema de Easton muestra que si se tiene una función $F$ de los cardenales regulares a los cardenales tales que $F(\kappa)>\kappa$ , $\kappa\leq\lambda\Rightarrow F(\kappa)\leq F(\lambda)$ y $cf(F(\kappa))>\kappa$ entonces es coherente que $2^\kappa=F(\kappa)$ . Esto por supuesto muestra que es consistente que podamos tener dos cardenales $\kappa<\lambda$ tal que $2^\kappa=2^\lambda$ .
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