Si $f(t)\in 1 + t\mathbb{Z}[t]$ es irred., podría no existir arbitrariamente grande, $n$ tal que para algunos $a\in\mathbb{Z}$, $f(t)+at^n$ se divide completamente?

Question

Deje $f(t)\in 1 +t\mathbb{Z}[t]$ ser un polinomio irreducible (no necesariamente monic) de grado $\ge 2$. Por lo tanto $f(t)$ también es irreducible en a $\mathbb{Q}[t]$.

Es posible que existen enteros arbitrariamente grandes $n\ge 0$ la satisfacción de:

"Existe una $a\in\mathbb{Z}$ (posiblemente 0) tal que $at^n + f(t)$ se divide completamente en factores lineales en $\mathbb{Z}[t]$" ?

Un segundo, probablemente la pregunta más fácil - Podemos encontrar un polinomio $f(t) \in 1+t\mathbb{Z}[t]$ ejemplo de que no hacer no existen arbitraria enteros grandes $n\ge 0$ la satisfacción de la citada condición?

Answer 1

Equivalentemente, (por la sustitución de $g(t)\leftrightarrow g(1/t)t^{\deg g}$):

Si $f\in\Bbb Z[t]$ es irreductible y monic de grado $d\ge2$, ¿ existen arbitrariamente grande, $n$ tal que para algunos $a_n\in\Bbb Z$, $g_n(t):=f(t)t^n+a_n$ se divide en factores lineales?

Respuesta: No, sólo puede haber un número finito de estos $n$.

Prueba. Claramente, $a_n$ debe ser distinto de cero como lo $f$, y el propio split.

Como $\deg f>1$, el derivado $f'$ tiene sólo un número finito de ceros. Vamos $$R=\max\{\,|x|:f(x)=0\lor f'(x)=0\,\}.$$ Then on each of the intervals $[R,\infty)$, $(-\infty,R]$, $f$ has constant sign and is monotonic. Therefore $t^nf(t)$ and ultimately $g_n(t)$ es también monotónica en cada uno de estos dos intervalos.

Si $g_n$ se divide por completo en el lineal de los factores, se debe tener (contadas con multiplicidad) $n+d$ entero raíces. Cualquier raíz de multiplicidad $k>1$ es una raíz de la derivada $g_n'(t)=t^{n-1}(f'(t)t+nf(t))$ con multiplicidad $k-1$. Tenga en cuenta que $g_n(0)=a_n\ne 0$, por lo que después de la eliminación de cualquier factor común de $g_n$ con el grado $d$ polinomio $f'(t)t+nf(t)$, aún nos quedamos con al menos $n$ distintos entero raíces de $g_n$. Por monotonía, $g_n$ tiene más de una raíz en $[R,\infty)$ y en más de una raíz en $(-\infty,R]$. Por lo tanto $g_n$ han $n-2$ municipio entero raíces en el intervalo de $[-R,R]$, lo cual es absurdo si $n>2R+3$.