Explicación para OEIS $\text{A}000157$ – "Número de funciones Booleanas de $n$ variables"

Question

Estoy teniendo problemas para entender OEIS $\text{A}000157$, no necesariamente su descripción, sino que sus términos. Ya he visitado cuántos semánticamente diferentes funciones booleanas están ahí para n variables booleanas?, pero los resultados no parecen coincidir con los que figuran en esta secuencia. La definición y los elementos son como sigue:

Número de funciones Booleanas de n variables.

1, 2, 7, 111, 308063, 100126976263592, 131867858014413288241233435594064, ...

Esto está claro para mí por la siguiente razón: ¿cuáles son los operadores lógicos que se deben emplear? Mirando el primer y los segundos términos de esta secuencia, supuse que $\lor\text{ and }\land$ son el único permitido a los operadores, por supuesto, incluyendo los soportes necesarios. Pero este razonamiento no parece para celebrar el tercer término:

Deje $\space f:\Bbb{B}^3\rightarrow\Bbb{B}$. Por lo tanto, pueden tener las siguientes formas: $$\left\{ \begin{array}{l}f(a,\:b,\:c)=a\land b\land c\\ f(a,\:b,\:c)=a \lor b\lor c\\f(a,\:b,\:c)=(a\land b)\lor c\\ f(a,\:b,\:c)=a\lor(b\land c)\\f(a,\:b,\:c)=(a\land c)\lor b\\f(a,\:b,\:c)=(a\lor b)\land c\\f(a,\:b,\:c)=(a\lor c)\land b\\f(a,\:b,\:c)=(b\lor c)\land a\\\cdots\end{array}\right.$$

Is my understanding flawed, or are any of the statements above, in fact, semantically equivalent? Are the boolean operations used really $\lor$ and $\de la tierra$ (I feel like excluding $\lnot$ es bastante raro)? Por otra parte, existe una formula para esta secuencia?

Answer 1

La secuencia A000370 enumera las funciones Booleanas hasta una relación de equivalencia. Más precisamente, una función con cualquiera de sus entradas o salida negada es equivalente a la función original. También, si las entradas son permutados, es equivalente así. Así que la secuencia enumera las clases de equivalencia. En el caso de $n=2$, por ejemplo, hay $4$ clases de equivalencia. $f(A,B)=T$ es una clase con $2$ miembros $f(A,B)=A$ es otro de los con $4$ miembros $f(A,B)=A\lor B$ $8$ de los miembros, y $f(A,B)=A\oplus B$ $2$ de los miembros. Teniendo en cuenta esto, a continuación, $A000157(n) = A000370(n)/2$ como se indica en la OEIS entrada para A000157.