Demostrar que estos vectores abarcan $\mathbb{Q}$

Question

Sean $v_1, v_2, \dots, v_n$ $n$ vectores en $\mathbb{Q}^m$ (definido como un Espacio Vectorial sobre el campo $\mathbb{Q}$) con todas las entradas enteras. Sea $p$ un número primo y sean $\bar{v}_1, \bar{v}_2, \dots, \bar{v}_n$ los $n$ vectores en $\mathbb{F}_p^m$ obtenidos reduciendo las entradas de $v_i$ módulo $p$.

Dado que $\bar{v}_1, \bar{v}_2, \dots, \bar{v}_n$ abarca $\mathbb{F}_p^m$ (definido como un Espacio Vectorial sobre el campo $\mathbb{F}_p$), prueba que $v_1, v_2, \dots, v_n$ abarca $\mathbb{Q}^m$.

Aquí, $\mathbb{F}_p$ denota el campo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

No sé cómo proceder con este. Por favor, ayuda.
Gracias de antemano.

Answer 1

Por supuesto, debes tener $n\ge m$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $\bar{v}_1,\ldots,\bar{v}_m$ abarcan $\mathbb{F}_p^m$.

Por contradicción, si $v_1,\ldots,v_m$ no abarca $\mathbb{Q}^m$, entonces existen números racionales $a_1,\ldots,a_m$ tales que $\sum_i a_iv_i=0$. Multiplicando por un factor racional, podemos asumir que cada $a_i$ es un entero, y que algún $a_i$ no es divisible por $p$. Ahora, reduciendo la ecuación lineal $\sum_i a_iv_i=0$ módulo $p$, obtenemos una contradicción.

Editar: Aquí hay una prueba menos elemental. Considera el $\mathbb{Z}$-módulo $M$ generado por los $v_i$. Como es libre de torsión y de tipo finito, es un módulo libre de algún rango finito $r$. Al reducirlo módulo $p$, vemos que $r=m; en particular \mathbb{Q}\cdot M=\mathbb{Q}^m$.