¿Por qué demostró Hilbert el Nullstellensatz?

Question

En particular, me pregunto:

1. Históricamente, ¿cuál fue el impulso para el desarrollo de la conexión entre el álgebra de anillos polinómicos y la geometría de variedades algebraicas? Concretamente, ¿qué problemas resolvió el trabajo de Hilbert?

2. Desde una perspectiva moderna, ¿cuáles son los ejemplos motivadores más ilustrativos que demuestran la utilidad de la Nullstellensatz para estudiar la geometría de las curvas polinómicas?

Estoy estudiando geometría algebraica elemental a partir de una variedad de textos introductorios, y me parece que el Nullstellensatz es un teorema muy profundo, pero o me estoy perdiendo algo, o estos textos no me están diciendo en realidad lo que puede hacer con el Nullstellensatz que tiene una relevancia directa para el estudio de variedades algebraicas particulares ¡! Se crea un diccionario muy convincente entre el álgebra y la geometría, pero puede alguien darme un ejemplo de dónde está este diccionario usado para decir algo interesante sobre la geometría?

Answer 1

Qué polinomios $P(X,Y)\in \mathbb C[X,Y]$ desaparecen en cada punto de $\mathbb C^2$ del círculo complejo $X^2+Y^2-1=0$ ?
Bueno, hay $P(X,Y)=X^2+Y^2-1$ ¡Duh!
¿Eso es todo? No: cualquier polinomio de la forma $P(X,Y)=Q(X,Y)(X^2+Y^2-1)$ donde $Q(X,Y)$ es un polinomio completamente arbitrario que obviamente también desaparece en todos los puntos de nuestro círculo.
¿Eso es todo? $$\operatorname {YES \;!!}$$ ¡Y éste (convenientemente generalizado) es el contenido del Nullstellensatz!

Answer 2

He aquí dos consecuencias/reflexiones elementales e importantes del HNS. Deberían incluirse en cualquier libro de texto que utilices.

1. Todo ideal maximal en $k[x_{1},...,x_{n}]$ (con $\bar{k}=k$ ) tiene la forma $$ (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n}) $$ para algunos $a_{1},...,a_{n}\in k$ .

2. Existe una correspondencia unívoca entre los ideales radicales en $k[x_{1},...,x_{n}]$ (con $\bar{k}=k$ ) y variedades afines en $k^{n}$ . Además, el ideal es primo si y sólo si la variedad es irreducible.

Creo que la importancia de estos dos resultados debería quedar bastante clara incluso a primera vista. En particular, el segundo es especialmente importante (en mi opinión). Está en el corazón mismo de la geometría algebraica: lo que utilizamos para ir del álgebra a la geometría y viceversa es la equivalencia de categorías (flechas inversas) entre variedades afines y sus anillos de coordenadas (reducidos finitamente generados $k$ -álgebras).

De hecho, la introducción de los esquemas en la geometría algebraica generaliza esta equivalencia de forma amplia: los esquemas afines (con las flechas invertidas) son equivalentes a los anillos conmutativos como categorías.