Es la condición suficiente?

Question

Estoy atascado en el siguiente problema:

Deje $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser continua y $2\pi$-periódico y $n$ ser un entero positivo. Si para cualquier entero $p \in [0,n-1]$, $$\int_{0}^{2\pi} f(t) \cos(pt)\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{2\pi} f(t) \sin(pt)\,\mathrm{d}t=0,$$
entonces, ¿es verdad que $f$ tiene al menos $2n$ raíces en $[0,2\pi]$?

Me trataron de demostrar que el problema a través de la inducción. $p=0$ es fácil , pero $p=1$ me está dando un duro momento.

Edit: Después de la observación de la Querida Dunham , parece que necesitamos ambos integral para ser igual a cero , en otro trabajo , en este caso tenemos la siguiente forma : $$ \int_{0}^{2\pi} f(t) e^{ipt} \mathrm{d}t=0$$ , Ahora parece que la trigonométricas versión de Demostrar que $f$ $m+1$ ceros si $\int_{a}^{b} x^nf(x)dx=0$ todos los $n\le m$

Answer 1

problema original

Si $f(t)=\cos(t)+\sin(t)$, a continuación, sólo hay 2 ceros, sin embargo, las condiciones se cumple para cualquier valor de $n$.

actualización de la versión revisada del problema

Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ser continua y $2\pi$ periódico con $M\in \mathbb{N}$ ceros. También, supongamos $\int f(t)e^{ipt}dt=0$$|p|<n$.

Definir $f_k$ $k$th cero significa antiderivada de $f$.

Desde $f_1$ $M$ valores críticos, $f_1$ tiene más de $M$ ceros. Del mismo modo, $f_k$ tiene más de $M$ ceros para todos los $k$.

Ahora, $f_1$ tiene un convergentes serie de Fourier \begin{equation} f_1(t) = \sum_{\ell\geq n} a_\ell \cos(\ell t) +b_\ell \sin(\ell t) \end{equation}

A continuación, $f_{4L+1}$ tiene series de Fourier \begin{equation} f_{4L+1}(t) = \sum_{\ell\geq n} \frac{a_\ell}{\ell^{4L}} \cos(\ell t) +\frac{b_\ell}{\ell^{4L}} \sin(\ell t) \end{equation}

Para $L$ suficientemente grande, de todos los términos, excepto la primera \begin{equation} \frac{a_n}{n^{4L}} \cos(n t) +\frac{b_n}{n^{4L}} \sin(n t) \end{equation} son insignificantes. Este primer término ha $2n$ ceros, por lo $f_{4L+1}$ tiene al menos $2n$ ceros. Por lo tanto $M\geq 2n$.