Submanifolds de enredo constante de la entropía

Question

En un espacio de Hilbert $A \otimes B$, una matriz de densidad de $\rho: A \rightarrow A$ está asociada con una oscilación de entropía $S(\rho)$.

Pregunta: ¿Cuál es la descripción de la colección de todos los estados de la $\rho'$ tal que $S(\rho) = S(\rho')$?

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En caso de que la respuesta no es obvia, aquí están algunas de las sub-preguntas.

La notación

• Deje $H(A)$ denotar el espacio de matrices de densidad $A \to A$. Este es un espacio topológico a través de la integración en el espacio lineal de automorfismos.

• Para $\rho \in H(A)$, denotan por $[\rho] \subset H(A)$ clases de equivalencia de la relación dada por la equivalencia de enredo de la entropía.

$$\rho \sim \rho' \iff S(\rho) = S(\rho')$$

Sub-preguntas

• Hay un transitiva acción del grupo sobre el $[\rho]$? (Creo que leí en alguna parte unitario mapas de preservar el enredo de la entropía. Son transitivas en estas clases de equivalencia?)

• Es el cociente mapa de $H(A) \xrightarrow{\pi} (H(A)/\sim)$ un fibration?

• Topológicamente, se $[\rho]$s compacto? ¿Tiene límites?

• Es $[\rho]$ conectado? ¿Qué hace de un componente conectado?

• Hay infinitesmall deformaciones de un estado $\rho$ que preservar la entropía? De forma equivalente, las clases de $[\rho]$ probablemente heredará una suave estructura, cuáles son las tangentes de los espacios? En el mismo sentido, hay una obstrucción de la teoría para la elevación de estos 1er fin de deformaciones a las de orden superior deformaciones?

• La siguiente no es riguroso. A menudo se calcula la entropía de entrelazamiento en un continuum de celosía escenario, por ejemplo, en CFTs. Aquí se considera, por ejemplo, una compacta orientable superficie, elija una curva cerrada $\gamma$ en el trivial de homología de la clase, y considerar la posibilidad de enredo de la entropía de un estado en "el espacio de estados delimitada por la curva". Hay estándar de la CFT técnicas (debido a Cardy probablemente?) para el cómputo de estos, por ejemplo, la réplica de truco. En estos escenarios, además de las preguntas anteriores, se puede pedir la siguiente. La fijación de un estado, existen deformaciones de $\gamma$ que preservar el enredo de la entropía?

• De manera más general, en otros escenarios, uno puede calcular la noción de entropía (por ejemplo, Shannon/Von Neuman entropía en la clásica de probabilidad), hay respuestas a las preguntas anteriores?

• Especulativo: si las respuestas a todas las anteriores son positivas, uno de los más podría pedir una estructura simpléctica en $H(A)$ por debajo de lo que el cociente es un Lagrangiano fibration con Lagrange las fibras. Es algo como esto conocido?

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Ejercicio/Intuición

Bloch Esfera (edit: esto fue hecho por debajo de @Noiralef):

Debe ser sencillo para calcular estos de nivel de las superficies de los enredos de la entropía de la función en la esfera de Bloch, que podría proporcionar a la intuición por el más general de la situación. A pesar de que se menciona en los comentarios que en este caso especial, uno no espera que la unitaries a ser transitivos, que no será el caso en general.

La Entropía De Shannon

Hay otro buen cálculo que uno puede hacer. Considere la posibilidad de un clásico modelo probabilístico en un número finito de variables, el espacio de estado en $n$-variables es un $n-1$ simplex en el espacio Euclidiano. Observar la entropía de Shannon tiene un $S_{n-1}$ simetría mediante el intercambio de cualquier par de variables. Por lo tanto, cuando la realización de un cociente del tipo descrito arriba, uno está obligado a terminar con un orbifold (o un DM de la pila).

En realidad se ve como estos, en este caso son funciones de Morse también, así que como de costumbre las fibras del mapa degenerar en puntos críticos. Junto con la observación de arriba se ve como debemos hacer equivariant de la teoría de Morse.

Answer 1

Esto sólo será una respuesta parcial, porque yo no sé ni todas esas palabras. Pero a mí me parece que está "pensando demasiado complicado" sobre el tema, así que espero que esto sea útil.

Primero de todo, estamos hablando de "el enredo de la entropía". Como ya se mencionó en los comentarios, que es demasiado curiosa palabra aquí: Su espacio de $B$ no juega ningún papel en absoluto, simplemente estamos hablando sobre el espacio de Hilbert $A$ e la (von Neumann) la entropía $S: H(A) \to \mathbb R$.

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Primero vamos a hablar de un qubit, $A = \mathbb C^2$. $H(A)$ puede parametrizar con el vector de Bloch, es decir, escribimos la matriz de densidad de $\rho \in H(A)$ $$ \rho = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 + z & x - \mathrm i y \\ x + \mathrm i y & 1 - z \end{pmatrix} . $$ El vector de Bloch $\vec r = (x, y, z)^t$ se encuentra en la esfera de Bloch $B^2 = \{ \vec r \in \mathbb R^3: | \vec r | \leq 1 \}$.

Algunos simple álgebra nos dice que $$ S(\rho) = -\operatorname{tr}(\rho \log \rho) = -\frac 1 2 \log \frac{1 - |\vec r|^2}{4} - \frac{|\vec r|}{2} \log \frac{1 + |\vec r|}{1 - |\vec r|} . \tag{1} $$ $S(\rho)$ sólo depende de la longitud del vector de Bloch $\vec r$, y se puede comprobar fácilmente que (1) es estrictamente una función decreciente de $|\vec r|$ ($\log 2$ en el máximo estado de mezcla $\vec r = 0$ $0$ en estados puros con $|\vec r| = 1$).

Por lo tanto, una clase de equivalencia $[\rho]$ es exactamente un shell $S^2(r) = \{ \vec r \in \mathbb R^3: |\vec r| = r \}$ ($0 \leq r \leq 1$). Son compactos, sin límite, conectado, y $\operatorname{SO}(3)$ actúa transitivamente sobre ellos.

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Seguimos con el caso general,$A = \mathbb C^N$. $H(A)$ puede ser muy complicado geométricamente: Si podemos parametrizar la matriz de densidad con una generalizada de vector de Bloch, el espacio de parámetros válidos será mucho más complicado.

Topológicamente, no hay mucha diferencia. $H(A)$ es todavía un espacio compacto convexo, con el límite consistente de los estados puros. Vamos $$ H_S(A) = \{ \rho \in H(A): S(\rho) \geq S \} , $$ a continuación, $H(A) = H_0(A) \supset \cdots \supset H_{\log N}(A)$ es una familia anidada de convexo compacto espacios (debido a $S$ es una función cóncava), sus límites son sus clases de equivalencia.

Todos los proyectiles / clases de equivalencia $\partial H_S(A)$ - a excepción de los más íntimos $H_{\log N}(A) = \{ \frac 1 N \mathbb 1 \}$, el cual es sólo el máximo estado mixto -- son homeomórficos a la capa externa $\partial H(A)$ de estados puros. Para la construcción de la homeomorphism tenga en cuenta que el rayo de $\frac 1 N \mathbb 1$ a través de $\rho \in \partial H_S(A)$ aciertos $\partial H(A)$ exactamente una vez.

Así, todas las clases de equivalencia son los mismos que el espacio de estados puros $\partial H(A)$. Un estado puro, está dada por un vector $0 \neq \psi \in A$ hasta equivalencia $\psi \sim \lambda \psi\,$ ($0 \neq \lambda \in \mathbb C$), por lo tanto, $\partial H(A)$ es sólo proyectiva $\mathbb C P^{N-1}$.