Hoy he recibido una pequeña caja de chocolate con almendras. Aquí una foto:
La parte superior e inferior de la caja se mantienen unidas por una banda que "atraviesa" la alternancia de las esquinas. Me puse a pensar: ja, me voy a hacer de esto un poco de diversión cálculo de optimización del problema: ¿qué distancia $x$ desde la esquina de la cruz de la banda en cada borde de minimizar la longitud total de la banda? Y más específicamente, ¿cuál es esta distancia en términos de la longitud, la anchura y la altura de la caja?
Estamos definiendo $x$ como la siguiente (vista desde la parte superior de la caja, las bandas son de color rojo):
Vamos a llamar a $b_T$ el total de la longitud de la banda, $b_h$ la suma de las porciones de la banda en la parte superior e inferior de la caja, $b_l$ la suma de las porciones de la banda en el lado de la $l$ de la caja, y $b_w$ las porciones de la banda en el lado de la $w$ de la caja. Y, por supuesto, $b_T = b_h + b_l + b_w$.
Considerando sólo la parte superior y la parte inferior, podemos ver:
$b_h = 4x\sqrt2$.
Del mismo modo, ya que el total de lado la longitud de los dos lados de la caja son de $l$ y los otros dos se $w$, y la altura de la caja es $h$, utilizando la Fórmula de Pitágoras podemos obtener las siguientes dos fórmulas:
$$b_w=2\sqrt{h^2+(w-2x)^2}$$
$$b_l=2\sqrt{h^2+(l-2x)^2}$$
Por lo tanto, nuestra total de la longitud de la banda en términos de x es:
$$b_T = 4x\sqrt2 + 2\sqrt{h^2+(w-2x)^2} + 2\sqrt{h^2+(l-2x)^2}$$
Dado que este es un problema de optimización y queremos encontrar el valor mínimo de $b_T$, vamos a diferenciar y establecer igual a cero:
$$b_T' = 4\sqrt2 + \frac{-4(w-2x)}{\sqrt{h^2+(w-2x)^2}} + \frac{-4(l-2x)}{\sqrt{h^2+(l-2x)^2}}$$
$$0 = 4\sqrt2 + \frac{-4(w-2x)}{\sqrt{h^2+(w-2x)^2}} + \frac{-4(l-2x)}{\sqrt{h^2+(l-2x)^2}}$$
Reordenando un poco más, podemos racionalizar a:
$$\left(2+ \frac{(w-2x)^2}{h^2+(w-2x)^2} - \frac{(2x-l)^2}{h^2+(l-2x)^2}\right)^2 = \frac{8(w-2x)^2}{h^2+(w-2x)^2}$$
Recuerde, el objetivo es encontrar, dadas las dimensiones de la caja, algunos ubicación óptima de la banda. Así que tenemos que reorganizar esta fórmula para obtener $x$ en términos de $l$, $w$, y $h$. Esto es donde estoy en una pérdida total. Distribuir el lado izquierdo nos daría demasiados términos seguir la pista de; incluso la sustitución de cada uno de los términos para $a$, $b$, y $c$, respectivamente, que la distribución de y, a continuación, volver a conectar en los resultados en un ridículo número de términos. Esto sería absurdo, ¿cómo podemos hacer esto de una mejor manera y obtener $x$ en términos de $l$, $w$, y $h$?
(También, espero que no se han metido hasta cualquiera de las fórmulas, mientras que la composición de ellos. No creo que yo lo hice, pero nunca se sabe...)
