Continua surjections en $\mathbb{R}$

Question

Tengo dos preguntas acerca de las funciones continuas:

1. Supongamos $X \subseteq \mathbb{R}$ $X$ tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$. Podemos encontrar una función continua de $X$ a $\mathbb{R}$?

2. Supongamos $X \cup Y = \mathbb{R}$. Podemos encontrar una función continua de una de $X, Y$ a $\mathbb{R}$?

Answer 1

La respuesta a (2) es afirmativa. Deje $f:R \to R^2$ ser un continuo surjection. Deje $\pi_x, \pi_y: R^2 \to R$ ser proyecciones en $x, y$ ejes. Ahora note que si $X \cup Y = R$, entonces cualquiera de las $(\pi_x \circ f)[X] = R$ o $(\pi_y \circ f)[Y] = R$. Por lo tanto, uno de los $X, Y$ pueden ser asignadas de forma continua en $R$.

Answer 2

Para hacer la pregunta (1) más interesante reemplace$\mathbb{R}$$[0, 1]$, de modo que la pregunta es: ¿Podemos crear un mapa de cada continuum tamaño de conjunto de los reales de a $[0, 1]$? En virtud de CH, la respuesta es no por un simple diagonalización (o simplemente tenga en cuenta que un Lusin/Sierpinski es un contraejemplo). Por el otro, de Arnold Miller ha demostrado (ver aquí) que en la iteración Sacos modelo de esto es cierto. También menciona una observación de J. Isbell: Siempre que un conjunto perfecto de reales se divide en countably muchos conjuntos, uno de estos conjuntos pueden ser asignadas de forma continua en $[0, 1]$.