Pregunta de integrabilidad con una función sobre una caja en $\mathbb{R}^2$ (recompensa añadida)

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R} \to\mathbb{R} \ be \ bounded,$

$\phi: \mathbb{R}^2 \to\mathbb{R}^2 $ definirse como $\phi(x,y)=(x,y+f(x))$

Demostrar que si para cada caja acotada $B\subset \mathbb{R}^2, \phi(B)$ es admisible (es decir, $\mathbb{1}_{\phi(B)}$ es Riemann-integrable), f es continua en casi todas partes.

Mi trabajo:

He intentado asumir que f no es continua en casi todas partes. Eso significa que hay un segmento en $\mathbb{R}$ $[x1,x2]$ donde f no es riemann-integrable. así que miramos ese segmento y tomamos la caja definida por $(x1,y1),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2)$ . Activamos $\phi$ en esa caja.

Ahora bien, esta es la parte de la que no estoy seguro

Porque $f$ está acotado (y que f no es integrable en riemann en este segmento) podemos tomar un $y_c$ para que $y_c$ está entre $y1+f(x)$ y $y2+f(x)$ en un conjunto denso del segmento $[x1,x2]$ y no está entre esos valores en un conjunto denso diferente en ese segmento.

Ahora vemos que la suma de Darboux superior en ese segmento de $\mathbb{1}_{\phi(B)}(x,y_c)=1*(x2-x1)$ y la suma inferior de Darboux es 0.

Eso significaría que encontramos una caja B donde $\phi(B)$ no es admisible.

Y eso lo demuestra.

Esto es lo que respondí en mi examen y perdí 30 de 40 puntos en por lo que te agradecería mucho que me dijeras en qué me equivoqué y por qué.

Muchas gracias.

Answer 1

Así es como yo abordaría esto, tal vez puedas sacar algunas conclusiones de ello.

Dejemos que $S$ sea el conjunto de discontinuidades de $f$ y asumir $\mu(S)>0$ . Para $\epsilon>0$ dejar $S_\epsilon$ sea el conjunto de puntos $x$ tal que existen secuencias $\xi_i\to x$ y $\eta_i\to x$ tal que $\lim f(\xi_i)$ y $\lim f(\eta_i)$ existen y difieren en más de $\epsilon$ . Entonces $S=\bigcup_{n\in\Bbb N} S_{1/n}$ (esto utiliza que $f$ está acotado). Por lo tanto, al menos una $S_{1/n}$ tiene una medida positiva. Además, para una adecuada $x_1<x_2$ el conjunto $S_{1/n}\cap (x_1,x_2)$ tiene una medida positiva $c$ . Sea $B=(x_1,x_2)\times(0,\frac1{3n})$ . Si dividimos una caja que contiene $\phi(B)$ con un rectángulo $u$ por $v$ rejilla (con $v<\frac1{3n}$ ), entonces en cada una de las $c/u$ columna afectada interiormente por $S_{1/n}\cap (x_1,x_2)$ encontramos al menos $\frac2{3nv}$ rectángulos de cuadrícula que contienen ambos puntos $\in \phi(B)$ y señalar $\notin \phi(B)$ . Por lo tanto, la suma superior e inferior de Riemann para $1_{\phi(B)}$ para esta partición en particular difieren en al menos $\frac{2c}{3n}$ . Como esto no depende de $u,v$ concluimos que $1_{\phi(B)}$ no es integrable de Riemann.