Para cualquier número entero $m,n>1$ ¿existe un grupo $G$ con elementos $a,b \in G$ tal que $o(a)=m , o(b)=n$ pero $ab$ tiene un orden infinito?

Question

Para cualquier número entero $m,n$ , ambos mayores que $1$ ¿existe un grupo $G$ con elementos $a,b \in G$ tal que $o(a)=m , o(b)=n$ pero $ab$ tiene un orden infinito?

Answer 1

Tome el producto gratis $A*B$ de los grupos cíclicos $A = \langle a\rangle, B = \langle b\rangle$ de orden $m$ y $n$ respectivamente, y mirar con detenimiento el elemento $ab \in A * B$ .