Ejemplo para Cíclico de los Grupos y la Selección de un generador

Question

En Criptografía, me parece que comúnmente se mencionan:

Sea G ser cíclica grupo de Primer orden p y con un generador de g.

Por favor puede ejemplificar esto con un ejemplo trivial, por favor! Gracias.

Answer 1

Un mejor ejemplo (porque el registro es difícil, que no es el caso de los aditivos de los grupos): el grupo multiplicativo de a $\mathbb{Z}_{p} = \{ 1,2,\ldots,p-1\}$ bajo la multiplicación. Dicen por $p=11$,$G = \{1,2,\ldots,10\}$, y no todos los elementos son los generadores, por ejemplo, $1$ no lo es. Vamos a probar 2: $$2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16 = 5, 2^5 = 10 = -1, $$ $$ 2^6 = -2 = 9, 2^7 = -4 = 7, 2^8 = -8 = 3, 2^9 = 6, 2^{10} = 12 = 1$$ again. So 2 is a generator, and the discrete log for 3 equals 8, as $2^8 = 3 \mod 11$ etc. For large primes, this gets harder and harder (we cannot make a table like this anymore). In general, you need to work a bit to find a generator, but they always exist. E.g. see the wikipedia page on this, e.g if we choose $p = 2q+1$, where $p$ is also prime (a "safe prime" in cryptography) then $g$ is a multiplicative primitive in $\mathbb{Z}_p$ iff $g^{\frac{p-1}{2}} = -1 \mod p$, and this is easy to test (fast modular exponentiation algorithms exist). As there are $\phi(\phi(n)) = \phi(2t) = q-1$ muchos elementos primitivos, recogiendo un par de números al azar y prueba de ellos le dará una primitiva elemento. En la práctica, un conjunto fijo de los números primos y los correspondientes generadores, ya han sido fijados por un comité, como en el TLS/SSL estándar, de manera que un usuario no necesita generar por sí mismo, pero se puede decir "utilizar el grupo x de esa norma"; pero, como dije, no es difícil para un PC para encontrar elementos primitivos.

Answer 2

Un ejemplo común sería el de los enteros modulo $5$, $\mathbb{Z}_5$. Este cíclica grupo de menores, además de con un posible generador de $1$, y ha de primer orden $5$.

Answer 3

Un cíclica grupo tiene uno o más de uno de los generadores. Por ejemplo: Z = {1,-1,i,-i} es un grupo cíclico de orden 4. Donde los generadores de Z son i y -i.