Dibujo rectángulo grande bajo la curva de

Question

Deje $f$ ser un continuo nonincreasing de la función en $[0,1]$$f(1)=0$$\int_0^1 f(x)dx=1$. ¿Existe un constante $k$ para los que siempre podemos dibujar un rectángulo con área de al menos $k$, con lados paralelos a los ejes, en la zona delimitada por los dos ejes y la curva de $f$?

Si elegimos la esquina inferior izquierda para estar en el origen y en la esquina inferior derecha en $x$, la altura del rectángulo es de $f(x)$. Así que lo que queremos es maximizar $xf(x)$, lo que equivale a la elección de $x=-f(x)/f'(x)$. Pero es difícil menor enlazado a esta cantidad para un arbitrario $f$.

Answer 1

Por cierto, $f(x)=x$ algunos $\alpha\in(0,1)$. Ahora podemos demostrar que $\alpha$ no puede ser demasiado pequeño. Tenemos: $$ 1=\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \alpha^2+\int_{\alpha}^{1}f(x)\,dx+\int_{\alpha}^{f(0)}f^{-1}(x)\,dx\leq \alpha^2+\alpha(1+f(0)-2\alpha) $$ por lo tanto $$ \alpha \geq \frac{1+f(0)-\sqrt{(1+f(0))^2-4}}{2} $$ donde $f(0)\geq 1$. Sin embargo, si $f(0)$ es ilimitado, que la desigualdad es ineficaz.

Answer 2

Tomar cualquier $0<\epsilon<1$ y definir: $$ f(x)=\casos{ \epsilon/t-\epsilon, & si $0\le x<t$;\\ \epsilon/x-\epsilon,& si $t\le x\le1$,\\ } $$ donde $t=e^{-1/\epsilon}$ es elegido de manera que $\int_0^1 f(x)\,dx=1$.

$f$ satisface sus necesidades, pero cualquier rectángulo con la parte inferior-izquierda de la esquina en el origen y en la esquina inferior derecha de a $(x, f(x))$ área $\epsilon$ a más.