¿Cómo encontrar la suma de ángulos sin trigonometría?

Question

He encontrado la suma es $180$ pero usando triángulo rectángulo y teorema del seno.

Answer 1

Solo rearrángalos y observe que el triángulo en negrita está correcto y es isósceles:

Otra prueba de $\arctan 1=\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}$ viene de:

$$(3+i)(2+i) = 5+5i$$

cambiando a argumentos.

Answer 2

Considere el siguiente triángulo:

Como $BC = AC$ tenemos que $\angle ABC = \angle CAB$ o $$\pi - \gamma - \beta = \gamma - \frac{\pi}{2} + \beta \iff \gamma + \beta = \frac{3\pi}{4}$$ (aquí $\gamma$ es el ángulo rojo de la imagen en la pregunta y $\beta$ es el amarillo). Es obvio que el ángulo verde de la pregunta (llamémoslo $\alpha$) es igual a $\frac{\pi}{4}$. Por lo tanto, tenemos $$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi.$$

Answer 3

@Jack D'Aurizio gracias por tu solución y sugerencias encontré una solución un poco diferente a la tuya :)

Answer 4

Dibuja un triángulo rectángulo $ABC$ con las siguientes propiedades:

$A$ está en el origen.

$C$ es el vértice del ángulo recto en $(1,1)$.

$B$ está a tu "izquierda" como se ve a lo largo de una línea de visión desde $A$ a través de $C$.

$BC$ es el doble de largo que $AC$.

Entonces $B$ se encuentra en $(-1,3)$ y el ángulo recto en el origen, en el plano superior, se divide en $\arctan(1)+\arctan(2)+\arctan(3)$.