Medir en superficies en $\mathbb{R}^3$

Question

Estoy interesado en los siguientes tres superficies en $\mathbb{R}^3$:

$$S_1=\{(x,y,x+y+x^3+\sqrt{y}): x \in [0,x_0], y\in [0,y_0]\},$$

$$S_2=\{(x,y,x+y+x^2 +y^2+1): x \in [0,x_0], y\in [0,y_0]\},$$

$$S_3=\{(x,y,x+y+x^4 +y^3): x \in [0,x_0], y\in [0,y_0]\}$$ para algunos $x_0, y_0>0$.

Me pregunto si no es una extensión natural de la noción de medida de Lebesgue (en $\mathbb{R}^n$) en estas superficies y natural de la noción de abrir establece en estas superficies que algo como la densidad de Lebesgue teorema se mantenga el uso de estos dos extendida nociones?

Answer 1

Lo que quiero es que la fórmula del área de cálculo multivariable. En su caso cada una de las tres superficies de $S_1,S_2,S_3$ es la gráfica de una función de $z=f(x,y)$ definida para todos los $(x,y)$ en algunos (medibles) subconjunto $D$ del avión. Cualquier (medibles) subconjunto de la superficie puede ser escrita en la forma $f(A)$ para algunos (medibles) subconjunto $A \subset D$. Además, $f(A)$ es un subconjunto abierto de la superficie si y sólo si $A$ es un subconjunto abierto de $D$. La fórmula del área nos da $$Área(f(A)) = \int\!\!\int_A \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + 1} \,\,\,\, dx \, dy $$ y eso es lo que se puede utilizar como medida de Lebesgue en la superficie. La densidad de Lebesgue teorema llevará a cabo por esta medida.