De acuerdo a Baire teorema de, para cada uno de los contables de la colección de abiertos densos de subconjuntos de a $[0,1]$, su intersección $A$ es densa. Somos capaces de decir algo sobre la Lebegue la medida de $A$? Debe ser positivo? De la medida completa?
Gracias por la ayuda.
Deje $q_1,q_2,\ldots$ ser una enumeración de los racionales. Deje $I_n^m$ ser un intervalo abierto centrado en$q_n$, con una longitud en la mayoría de las $1/m 1/2^n$. A continuación, $\bigcup_n I_n^m$ es un abierto denso conjunto con medida de Lebesgue en la mayoría de las $1/m$. La intersección de estos abiertos densos conjuntos tiene medida de Lebesgue cero.
No, realmente no. Para $\varepsilon\in[0,1)$ deje $C_\varepsilon$ ser una grasa conjunto de Cantor , cuya medida es $\varepsilon$. Sabemos que este tipo de conjuntos existen para cada $\varepsilon$ en el rango dado.
La grasa de conjuntos de Cantor es para nada densa y cerrada, por lo que su complemento es abierto y denso. Pick $\varepsilon_n$ a ser una secuencia de los enfoques $1$, y deje $O_n$ ser el complemento de $C_{\varepsilon_n}$, tenga en cuenta que las medidas de $O_n$ enfoque de cero. A continuación, $\bigcap O_n$ es la intersección de la densa abrir sets, pero su medida es cero.
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