Es $f(x)x$ convexo para la función creciente $f$ ?

Question

Supongamos que $f:(0,\infty)\to[0,1]$ es estrictamente creciente e infinitamente diferenciable. Tengo la intuición de que $$ g(x)=f(x)x $$ debe ser convexo en $x$ (es decir, que aumenta a un ritmo acelerado) porque $g(x)$ puede interpretarse como una proporción de un número, ambas suben cuando el número sube, pero no puedo demostrarlo ni presentar un contraejemplo.

Intenté diferenciar: $$ g'(x)=xf'(x)+f(x)\implies g''(x)=xf''(x)+2\underbrace{f'(x)}_{>0}\overset{?}{>}0. $$ Gracias por su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $f(x) = 1- e^{-x}$ .

Entonces para $x > 2$

$$g''(x) = e^{-x}(2-x) < 0$$

y $g(x) = xf(x)$ no es convexo.