La Comprensión De Los Puntos De Ramificación

Question

Realmente no entiendo cómo calcular los puntos de ramificación de un mapa general entre las Superficies de Riemann. Si alguien tiene una buena explicación de esto, estarían dispuestos a compartirlo? Descargo de responsabilidad: yo preferiría una explicación que evita hablar sobre proyectiva del espacio!

Voy a ilustrar mi problema con un ejemplo. La noción de grado de un holomorphic mapa no está bien definida para los no-espacios compactos, tales como las curvas algebraicas en $\mathbb{C}^2$. He tenido el asesoramiento de colegas que no se preocupe acerca de esto y el uso de la noción de grado de todos modos, debido a que se trabaja en un entorno diferente (no sé cual). En particular, considerar la curva algebraica definida por

$$p(z,w)=w^3-z(z^2-1)$$

y el primer mapa de proyección

$$f(z,w)=z$$

Con el fin de encontrar los puntos de ramificación de esto sabemos que genéricamente $v_f(x)=1$ y claramente al $z\neq0,\pm 1$ tenemos $|f^{-1}(z)|=3$ por lo que el 'grado' debería ser $3$. Por lo tanto $z=0,\pm1$ son puntos de ramificación con orden de ramificación 3. He tenido la opinión de que esto es correcto. ¿Por qué esta obra?

Ahora vamos a ver un ejemplo similar. Considere la curva algebraica definida por

$$p(z,w)=w^2-z^3+z^2+z$$

y la segunda proyección del mapa

$$g(z,w)=w$$

Ahora vemos otra vez el 'grado' de $g$ debe $3$. Ahora $g^{-1}(i)=\{(1,i),(-1,i)\}$. Así que por el grado argumento exactamente uno de estos es un punto de ramificación, de la orden de ramificación 2. Es esto correcto? Si es así, ¿cómo puedo saber cuál es?

Finalmente, en más generalidad, ¿ este método de trabajo para la proyección de los mapas de todas las curvas algebraicas en $\mathbb{C}^2$? Lo siento por la larga exposición!

Edit: he Aquí una idea que sólo tenía. Si nuestro mapa de la $f$ es adecuado, entonces no necesitamos la $X$ a ser compacto para $\deg(f)$ estar bien definida. Ahora el mapa de proyección es claramente correcto (creo) así que por eso funciona esto. Estoy en lo cierto? Por supuesto, esto plantea la pregunta natural - 'lo de mapas estándar apropiado'? Supongo que debería preguntar esto en una pregunta aparte, aunque!

Answer 1

Veamos el segundo ejemplo. Deje $p(z, w) = w^2 - z^3 + z^2 + z$, y deje $Y = \{ p(z, w) = 0 \}$. A continuación, $$p(z, i) = -z^3 + z^2 + z - 1 = -(z - 1)^2 (z+1)$$ por eso reivindico $(1, i)$ ha ramificación índice $2$ mientras $(-1, i)$ ha ramificación índice $1$. De hecho, se observa que la \begin{align} \frac{\partial p}{\partial z} & = -3 z^2 + 2 z + 1 \\ \frac{\partial p}{\partial w} & = 2 w \end{align} por el teorema de la función inversa argumento, nos encontramos con que $(z, w) \mapsto z$ a nivel local es un gráfico que está cerca de $(-1, i)$$(1, i)$. En este gráfico, su función $g : Y \to \mathbb{C}$ está dado por $z \mapsto \sqrt{z^3 - z^2 - z}$. Tomemos expansiones de Taylor alrededor de $\pm 1$: \begin{align} g(z) - i & = -i (z-1)^2 + O((z-1)^3) \\ g(z) - i & = -2 i (z+1) + O((z+1)^2) \end{align} Por lo tanto, el índice de ramificación en $(1, i)$ es, de hecho, $2$ y a las$(-1, i)$$1$.

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Moralmente, lo que está pasando es que sus curvas son densos abrir subconjuntos de curvas proyectivas. De hecho, la primera curva está dada en coordenadas homogéneas por $$w^3 - z (z^2 - u^2) = 0$$ y su segunda curva está dada por $$w^2 u - z^3 + z^2 u + z u^2 = 0$$ y uno puede comprobar con la mano que estas curvas son suaves "en el infinito", por lo que hemos deseado la incrustación de la original afín a las curvas algebraicas en proyectivos (de ahí compact) de las curvas algebraicas. El grado está bien definido en el último, así que está bien definido en la anterior restricción; el único problema es que puede haber "desaparecido" preimages y así la ecuación que relaciona los grados y la ramificación de los índices se convierte en una desigualdad: $$\text{deg}(g) \ge \sum_{x \in g^{-1} \{w\}} \nu_x (g)$$ Por ejemplo, tomar el afín hipérbola $z w - 1 = 0$ y la proyección de $(z, w) \mapsto w$; esta función tiene un grado $1$ (una vez que se incrusta en el proyectivas de cierre), pero obviamente no hay preimages de $0$ en el afín hipérbola.

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Vamos a desarrollar un método genérico de lidiar con el afín de las curvas planas. Deje $p : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ ser un polinomio de la función de dos variables, y supongamos $Y = \{ p(z, w) = 0 \}$ es una suave curva algebraica. Deje $f : Y \to \mathbb{C}$ ser la proyección de $(z, w) \mapsto w$. Para cada uno de ellos fijo complejo de número de $b$, obtenemos una función polinómica $p(-, b)$, dicen de grado $d$. Ahora, debido a $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, podemos escribir $$p(z, b) = c (z - a_1)^{e_1} \cdots (z - a_n)^{e_n}$$ para algunos de los distintos números complejos $a_1, \ldots, a_n$, $c \ne 0$, y enteros positivos $e_1, \ldots, e_n$, de tal manera que $e_1 + \cdots + e_n = d$. Supongamos también que $$\frac{\partial p}{\partial w}(a_i, b) \ne 0$$ para todos los $a_i$; a continuación, un teorema de la función inversa argumento muestra que el $(z, w) \mapsto z$ es un gráfico de cerca cada una de las $(a_i, b)$. Afirmo que el índice de ramificación de $f$ $(a_i, b)$ $e_i$ bajo estas hipótesis. De hecho, cuando se $z$ es un parámetro local, tenemos $$0 = \frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} z} \frac{\partial p }{\partial w}$$ así que si $e_i > 1$,$\frac{\partial p}{\partial z} (a_i, b) = 0$, por lo que debemos tener $\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} z} (a_i) = 0$ porque $\frac{\partial p}{\partial w} (a_i, b) \ne 0 $ por hipótesis – que implica $f(z) - b = O((z - a_i)^2)$. Jugando con el total de los derivados más, finalmente nos encontramos con que el primer no-cero coeficiente de $f(z) - b$ $a_i$ es el coeficiente de $(z - a_i)^{e_i}$, según se requiera.

Por otro lado, cuando tenemos $\frac{\partial p}{\partial w} (a_i, b) = 0$, luego por los no-degeneración debemos tener $\frac{\partial p}{\partial z} (a_i, b) \ne 0$, y debemos tener $e_i = 1$ $(z, w) \mapsto w$ es un gráfico cerca de $(a_i, b)$. Pero entonces, obviamente, el índice de ramificación de $f$ $(a_i, b)$ debe $1$. Así que, en cualquier caso, la ramificación índice de $f$ $(a_i, b)$ es igual a $e_i$. Conveniente, no?