Cesáro sumas y el límite real

Question

Mi libro de texto, por una parte, define la Cesáro suma de la siguiente manera: $$ \sigma_n= \frac{s_1+...+s_n}{n}= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^ns_k, $$ donde $$ s_n = \sum_{k=1}^na_k. $$ Este método se utiliza, me han dicho, para encontrar un valor de otro modo sumas divergentes. Por ejemplo la suma de $1-1+1-1+1-1+1-1+...$ hace $1/2$. La notación $(C,2)$ significa que se ha calculado el Cesáro suma de un Cesáro suma. Digamos que usted tiene una suma que no tiene un valor finito hasta que calcular el $(C,10)$ $(C,10)$ el límite real?

Es el Cesáro suma el límite de la serie o simplemente un valor que coincide con el límite convergente de la serie?

Answer 1

El límite de una serie convergente coincide con su [primera] Cesáro suma (a prueba) y, en consecuencia, con su orden superior Cesáro sumas así.

En particular, el contrapositivo de los estados que si $(C,1)$ no existe, entonces la serie no converge.

Answer 2

La respuesta que aceptan es exacta, pero más se puede decir. En resumen $(C,10)$ no es el límite, pero podría ser algo parecido a" el (la décima parte de la orden) Cesaro límite. Y la serie no es summable (en el sentido usual de la palabra) y no (como es habitual) límite. Pero Cesaro summable (de orden $10$ si lo desea.)

Primero vamos a mover de la serie de secuencias. A partir de una serie de $ \sum a_i$ Tenemos una serie relacionada con $s_1,S_2,\cdots$ de las sumas parciales. Si esta secuencia converge a un valor de $v$ según la definición habitual decimos que la serie es una summable serie o convergente la serie. Ese valor es la suma o el límite y podríamos decir $v=(C,0). $ de lo Contrario, la serie es divergente.

Así que , por definición, una divergente la serie no tiene un límite. Hay buenas razones para que los convenios/definiciones. Pero también podemos definir el Cesaro transformación que convierte a $s_1,s_2,\cdots$ serie $\sigma_1,\sigma_2,\cdots$ y si esta nueva secuencia tiene un límite decimos que la serie original es Cesaro-summable con Cesaro suma $(C,1).$ (me quedo con su notación, aunque yo no soy amiga de ella).

Tenga en cuenta que $(C,2)$ no sería la Cesaro suma de los Cesaro suma sino el límite de la Cesaro transformación de la Cesaro transformación de la secuencia de $s_1,s_2,\cdots.$ Le podría aplicar el Cesaro transformar a las secuencias que se levantó en otras formas.

Si una serie es summable también es Cesaro summable y $(C,1)=(C,0)$. A veces, cuando la convergencia a $(C,0)=v$ es lento, la convergencia de la Cesaro transformar a $C(,1)=v$ es mucho más rápido.

El tema es innegable fresco. Lo útil que es, no sé.