Complejo matriz cuadrada con distintos autovalores

Question

Hay una manera simple de mostrar que si $A$ es una compleja matriz cuadrada con distintos autovalores, a continuación, $A$ es similar a una matriz cuyos todas las entradas son cero.

Answer 1

No estoy seguro de si esta respuesta es bastante simple. De todos modos, podemos probar un poco más fuerte que el resultado:

Lema. Deje $n\ge2$. Si $A\in M_n(\mathbb{C})$ no es un escalar múltiples de la matriz identidad, entonces $A$ es similar a la matriz con todas las entradas diferentes de cero.

Prueba. Para cualquier matriz que no es un escalar múltiples de la matriz identidad, su forma canónica racional no es diagonal. Así, podemos suponer que la $A$ no es una matriz diagonal. Ahora, para cualquier $x\ne0$, todos distintos de cero entradas fuera de la diagonal de $$ B=\operatorname{diag}\left(x^2,x^{2^2},x^{2^3},\ldots,x^{2^n}\right)\,A\,\operatorname{diag}\left(x^{-2},x^{-2^2},x^{-2^3},\ldots,x^{-2^n}\right) $$ son múltiplos de distintas facultades de $x$. Deje $J$ ser el todo-uno de la matriz. Entonces \begin{align*} C&=(I+tJ)B(I+tJ)^{-1}\\ &=(I+tJ)B\left(I-\frac{t}{nt+1}J\right)\\ &=\frac{1}{nt+1}(I+tJ)\,B\,\left[I+t(nI-J)\right]\\ &=\frac{1}{nt+1}\left[t^2(nJB-JBJ) + t(JB+nB-BJ) + B\right]. \end{align*} La expresión dentro de la pareja de corchetes es cuadrática en $t$. Sus principales coeficiente de es $P=nJB-JBJ$, cuyas $(i,j)$-ésima es $$ p_{ij}=n\times(j\text{-ésima columna de la suma de } B)-(\text{suma de todas las entradas en } B). $$ Desde $B$ tiene al menos uno distinto de cero fuera de la diagonal de la entrada y de aquellos distinto de cero entradas fuera de la diagonal de a $B$ son múltiplos de los distintos poderes de $x$, cada una de las $p_{ij}$ es un polinomio distinto de cero en $x$. En consecuencia, para los valores adecuados de a$x$$t$, todas las entradas de $C$ son cero.