Lo difícil es exactamente $\int\tan(x^2)\ dx$?

Question

Lo difícil es exactamente $\int\tan(x^2)\ dx$ ?

Es posible expresar esta integral en términos de funciones elementales?

Si no, hay algo que uno puede decir acerca de ella, que sería de alguna manera útil?

Yo no he hecho nada para responder a esta pregunta a mí mismo. (Bueno, he buscado en google, Wolfram alpha me dice que no se encontró el resultado en términos de estándar de funciones matemáticas, por lo que parece seguro asumir que no hay tal resultado existir).

Esta integral se ve algo similar a $\int e^{x^2} dx$ (que no puede ser expresado en términos de funciones elementales), pero sólo necesito un poco de tranquilidad (posiblemente con un enlace o una explicación) específicamente para $\int\tan(x^2)\ dx$ .

Por si acaso, aquí está la expansión en series de Taylor
$\tan(x) = x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835+O(x^{11})$ y
$\tan(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{(n-1)}2^{2n}(2^{2n}-1) B(2n)}{(2n)!} x^{2n-1}$ donde $B(n)$ son los números de Bernoulli.
Alguien me preguntó acerca de esta integral y me di cuenta de que no podía decir mucho acerca de él.

Answer 1

Si la pregunta es: "¿es posible expresar la integral de la $\int \tan(x^2)dx$ en términos de funciones elementales ?", la respuesta es : Sí, en la forma de una serie infinita de funciones elementales.

Si la pregunta es: "¿es posible expresar la integral de la $\int \tan(x^2)dx$ en términos de la combinación de un número finito de funciones elementales ?", la respuesta es : No. (como ya se señaló en una anterior respuesta).

Si la pregunta es : "¿Cómo de difícil es exactamente $\int \tan(x^2)dx$ ?", la respuesta es : No más difficut de las integrales : $$\int \sin(x^2)dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\ S \left( \sqrt{\frac{2}{\pi}}\ x\right)+constante$$ donde $S(X)$ se define como una función especial, a saber, el de Fresnel S integral : http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html

y no más difícil que la integral : $$\int \cos(x^2)dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\ C \left( \sqrt{\frac{2}{\pi}}\ x\right)+constante$$ donde $C(X)$ se define como una función especial, a saber, el de Fresnel C integral: http://mathworld.wolfram.com/CosineIntegral.html

La única diferencia es que en el : $$\int \tan(x^2)dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\ T \left( \sqrt{\frac{2}{\pi}}\ x\right)+constante$$ la función especial $T(X)$ no se hace referencia entre el estándar funciones especiales, no aparece en los manuales de funciones especiales y no está implementado en las matemáticas de los softwares.

Uno podría decir que acaba de dar un nombre a una integral no es más que un cuchillo truco. Sin embargo, uno debe pensar acerca de ello. Un papel para el público en general sobre el tema : https://fr.scribd.com/doc/14623310/Safari-on-the-country-of-the-Special-Functions-Safari-au-pays-des-fonctions-speciales

Answer 2

Por favor, tenga en cuenta que la no-forma cerrada integrales, de hecho, pueden ser clasificados como de cuatro tipos:

Tipo $1$: Puede ser expresada como una serie infinita cuyo su radio de convergencia cubre en $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$

Tipo $2$: sólo Puede ser expresada como una serie infinita cuyo su radio de convergencia de las cubiertas de finito de intervalos, para obtener los resultados adecuados en $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ debe tener casos divisiones

Tipo $3$: Otros de Tipo $1$ y Escriba$2$, pero el software puede expresar como sabe funciones especiales, sólo podemos seguir las expresiones del software

Tipo $4$: Otros de Tipo $1$ y Escriba$2$, e incluso el software no puede expresar como sabe funciones especiales, si realmente queremos de la fuerza para resolverlos solo debemos utilizar la fórmula por ejemplo, este.

Por desgracia, $\int\tan x^2~dx$ es, de hecho, pertenece al Tipo $4$ debido a las siguientes razones:

$1.$ Wolfram no resuelve esta integral.

$2.$ El radio de convergencia de la energía de la serie de $\tan x$ solo $\dfrac{\pi}{2}$ y coeficientes no tienen ninguna forma cerrada, y debemos tener infinidad de veces de los casos divisiones con el fin de obtener los resultados adecuados en $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$

Answer 3

Imposible expresar en términos de funciones elementales. La prueba es muy inteligente, y usted debe darle una oportunidad. Si usted no puede averiguar, hágamelo saber y voy a publicar la solución.

He aquí una sugerencia: http://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorial_species#Further_operations