Integrar $f(x)=\sqrt{x^2+2x+3}.$

Question

Completar el cuadrado y dejar $t=x+1$ obtengo $$\int\sqrt{(x+1)^2+2} \ dx=\int\sqrt{t^2+2}\ dt.$$

Dejar $u=t+\sqrt{t^2+2},$ Me sale

\begin{array}{lcl} u-t & = & \sqrt{t^2+2} \\ u^2-2ut+t^2 & = & t^2+2 \\ t & = & \frac{u^2-2}{2u} \\ dt &=& \frac{u^2+2}{2u^2}du \end{array}

Así, la integral se convierte en

$$F(x)=\int \left(u-\frac{u^2-2}{2u}\right)\left(\frac{u^2+2}{2u^2}\right) \ du = \int \left(\frac{u^2+2}{2u}\right)\left(\frac{u^2+2}{2u^2}\right) \ du =\int\frac{u^4+4u^2+4}{4u^3} \ du.$$

Este integrando está bien dividido en

\begin{array}{lcl} F(x) & = & \frac{1}{4}\int u \ du+\int \frac{1}{u} \ du+\int \frac{1}{u^3}=\frac{u^2}{8}+\ln{|u|}-\frac{1}{2u^2}+C \\ & = & \frac{(t+\sqrt{t^2+2})^2}{8}+\ln{|t+\sqrt{t^2+2}|}-\frac{1}{2(t+\sqrt{t^2+2})^2}+C \\ \end{array}

Y por último, en términos de $x$ :

$$F(x)=\frac{(x+1+\sqrt{x^2+2x+3})^2}{8}+\ln{|x+1+\sqrt{x^2+2x+3}|}-\frac{1}{2(x+1+\sqrt{x^2+2x+3})^2}+C.$$

La respuesta en el libro es:

$$F(x)=\frac{1}{2}\left((x+1)\sqrt{x^2+2x+3}+2\ln{|x+1+\sqrt{x^2+2x+3}}|\right)+C.$$

¿Puede alguien ayudarme a identificar en qué me he perdido?

Answer 1

Computar \begin{align} \frac{(t+\sqrt{t^2+2})^2}{8}-\frac{1}{2(t+\sqrt{t^2+2})^2} &= \frac{(t+\sqrt{t^2+2})^2}{8}-\frac{(t-\sqrt{t^2+2})^2}{2(t^2-(t^2+2))^2} \\[6px] &= \frac{t^2+2t\sqrt{t^2+2}+(t^2+2)-t^2+2t\sqrt{t^2+2}-(t^2+2)}{8} \\[6px] &=\frac{t\sqrt{t^2+2}}{2} \end{align}

¿Lo ves ahora?

Answer 2

Así es como yo lo haría.

$t = \sqrt 2 \tan \theta\\ dt = \sqrt 2 \sec^2 \theta$

$\int 2\sec^3 \theta\\ \sec\theta\tan\theta + \ln [\sec\theta+\tan\theta]+C\\ \frac {1}{2} t\sqrt {t^2 + 2} + \ln \frac 12 (t+\sqrt{t^2 + 2}+ C\\ \frac {1}{2} (x+1)\sqrt {x^2 + 2x + 3} + \ln [x+1 + \sqrt {x^2 + 2x + 1}]+ C$