Sólo un punto fijo para $f:\bar{\mathbb{D}}\rightarrow\bar{\mathbb{D}}$ sobre el límite.

Question

Sabemos por el teorema de Brouwer que $f$ (continua bijective función) tiene un punto fijo. Mis preguntas son:

1) hay una función con sólo un punto fijo $x_0\in Int(\bar{\mathbb{D}}) $ (disco abierto)?

2) hay una función con sólo un punto fijo $x_0\in \partial(\bar{\mathbb{D}})$?

Para (1) es verdadera, ya que una rotación por un ángulo de $\theta\not=2k\pi$. Pero (2) no puedo encontrar lo $f$, creo que para cualquier función con un punto fijo en el límite de tener siempre al menos en un punto fijo en el disco abierto $\mathbb{D}$. Tal vez para la continuidad de la $\partial f$ (la restricion de $f$$\partial \mathbb{D}$).

Todas las ideas o sugerencias o tal vez un contraejemplo?

Answer 1

Es útil saber que, desde el punto de vista de la esfera de Riemann, los discos y la mitad de los aviones son los mismos. La transformación de Möbius

$$S \colon z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$$

los mapas de la mitad superior del plano-biholomorphically a la unidad de disco. Ahora es fácil ver bijections de la cerrada de la mitad superior del plano-tiene exactamente un punto fijo en el límite, todas las traducciones $T_a \colon z \mapsto z+a$ $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ ha $\infty$ como único punto fijo. La conjugación de una traducción con $T$ nos da una homeomorphism (incluso un holomorphic uno) de la cerrada de la unidad de disco en sí tiene exactamente un punto fijo en el límite.

Explícitamente, $S^{-1}(z) = i\frac{1+z}{1-z}$, luego

$$S\circ T_a \circ S^{-1} \colon z \mapsto \frac{a+(2i-a)z}{2i+a-az}$$

es decir, para cada $a \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$, un automorphism de la unidad de disco con $1$ como su único punto fijo.