Estoy confundido. Si haar funciones han integral de cero, no toda combinación lineal de ellos han integral de cero?

Question

Creo que tengo realmente una pregunta tonta que no puedo pensar acerca de la manera correcta. Así que, en mi EE clase hemos aprendido acerca de las funciones de haar. Han integral igual a cero y formar una base ortonormales para las funciones en R. Que es que podemos escribir cada función como $f(x)=\sum\langle f,h_k\rangle h_k(x)$ donde sabemos que la $\int h_k(x) dx=0$. Pero entonces, ¿no es cierto que $\int f(x)dx = \sum \langle f,h_k\rangle \int h_k(x)dx = \sum \langle f,h_k\rangle 0 = 0$? For a simple example - to not have to worry about swapping the integral and sum, what if $f$ es la función característica de la unidad de intervalo?

Ahora, entiendo que se puede hacer algo parecido: vamos a $f$ ser una función y deje $g$ ser la función característica para el conjunto donde $f\neq 0$. Entonces tenemos: $\int f(x)dx = \sum \langle f,h_k\rangle \int g(x) h_k(x)dx$ y, a continuación, este destruye la integral de cero a la propiedad de la haars. Pero lo que realmente quiero saber es por qué lo he dicho en el párrafo anterior está mal.

EDITAR: Tal vez todo el problema es con el intercambio de la suma y la integral. Pero el profesor (y el libro, también, creo) también hice cosas como: $$ \langle f,g\rangle = \sum \langle f,h_k\rangle \langle f,h_k\rangle $$ lo que está justificado por el intercambio de la suma y la integral.

Answer 1

Las funciones de haar $h_k$ son ortonormales base para $L^2(\mathbb{R})$. Por lo tanto, si $f\in L^2(\mathbb{R})$, entonces podemos escribir $f=\sum\langle f,h_k\rangle h_k$ o más precisamente: $$f=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n\langle f,h_k\rangle h_k(x)$$ Por favor, tenga en cuenta dos cosas importantes: $f$ debe ser en $L^2(\mathbb{R})$ y el límite superior está en el $L^2(\mathbb{R})$ norma (topología).

Es cierto que, para todos los $k$, $\int h_k dx = 0$. Sin embargo, $$ \int f dx = \int \left( \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n\langle f,h_k\rangle h_k(x) \right) dx \neq \lim_{n \to \infty}\int \left(\sum_{k=0}^n \langle f,h_k\rangle h_k(x) \right)dx$$ debido a que la integral NO es un continuo funcional en el $L^2(\mathbb{R})$ norma (topología).

De hecho (como Daniel Fischer señaló en los comentarios), en general, si $f\in L^2(\mathbb{R})$, la integral de $f$ no existe.