¿Existe una función continua con estas propiedades (no a trozos)

Question

En resumen, me pregunto si puedo encontrar una función continua no parcelaria con estas propiedades. He encontrado una que se acerca pero no es perfecta. La verdad es que es muy útil tener algo así para escalar. Perdón por la falta de formato (EDIT: Gracias)

$$\begin{aligned} f(0) &= 1\\ f(x) &> 0\\ f'(0) &> 1\\ f'(x) &> 0\\ f''(0) &= 0\\ \lim_{x\to\infty} f '(x) &= 1 \\ \lim_{x\to -\infty} f(x) &= 0 \end{aligned} $$ La segunda y la cuarta restricción se añadieron después, así que téngalo en cuenta al ver los comentarios/respuestas

Puntos extra si puedes encontrar una función que tenga una integral elemental y que se aproxime a y = x + 1

He conseguido una función que muestra todas las propiedades excepto la inflexión en cero (y obviamente la disminución de $f'(x)$ ), siendo hiperbólico (simplemente $\sqrt{1 + x^2 / 4}+ x / 2$ ).

El propósito real no es para fines matemáticos, es para un programa. En resumen necesito normalizar un valor para que no pueda caer por debajo de 0 pero que no tenga tope en él, y que se acerque a la aditividad pero con rendimientos decrecientes, en lugar de crecientes que obtendría con la hiperbólica anterior. Así, para la mayor parte de la parte positiva necesito que sea cóncava hacia abajo. Si es integrable puedo hacer más cosas con ella sin romper la independencia temporal, pero la mayor parte del tiempo no importará.

Answer 1

Después de jugar con varias composiciones y juegos, he aquí una analítica:

$$f(x) = \frac 2 \pi \frac {e^x} {e^x + 1} x \arctan x + e^{2x - (2 + \frac 1 \pi)x^2}$$

La primera parte le da los límites en $\pm \infty$ y la segunda parte realiza ajustes en $0$ .

Entonces, ¿para qué sirve esto? :)

Answer 2

Este es un ejemplo en el que se consigue todo excepto $f'(0)>1.$ Tiene el inconveniente de que los parámetros $a,b,c$ parece que sólo se puede encontrar numéricamente (por lo que no es una fórmula "exacta"), pero la posible ventaja de que tal vez ajustando las opciones de $a,b,c$ uno puede conseguir $f'(0)>1.$ $$f(x)=\ln(1+a e^x)+b(\arctan(x+c)+\pi/2).$$ Tenga en cuenta que $f,f'$ aquí tienen las propiedades requeridas en $\pm \infty$ y que $f(x)>0,f'(x)>0$ proporcionado $a,b,c$ terminar en positivo.

Las ecuaciones $f(0)=1$ y $f''(0)=0$ pueden resolverse linealmente para $b$ , dando respectivamente $$b_1=\frac{1-\ln(a+1)}{\arctan(c)+\pi/2},\\ b_2=\frac{a(c^2+1)^2}{2c(a+1)^2}.$$ Como estos tienen que ser iguales experimenté con los valores y encontré que al elegir $a=.1$ que $b_1=b_2$ condujo a (una opción de dos valores) un valor aproximado $c \approx 0.076089...\ .$ Esto se puede poner en cualquiera de las fórmulas para $b$ para obtener $b \approx .549383...\ .$ El valor de $f'(0)$ salió sobre $0.637$ me lleva a sospechar que una mejor elección de $a,b,c$ puede hacer $f'(0)>1$ posible de lograr.

No sé cómo incluir gráficos, pero como era de esperar el gráfico de $f$ con estas opciones de $a,b,c$ es muy plana (contacto de orden dos con la línea tangente) en $x=0$ . Si se pudiera conseguir un ejemplo con $f'(0)>1$ también tendría esta planitud, y tendría que cambiar la concavidad en algún lugar después de cruzar $x=0$ por lo que su derivada tendería a $1$ como $x \to \infty.$

Answer 3

Yo he conseguido (soy op, por cierto) algo muy parecido (f''(0) = 1/4) que probablemente sea suficiente para la mayor parte de lo que me interesa si nadie puede conseguir una función mejor (y tiene la ventaja de ser

$$f(x) = \frac {2 \arctan {\frac {\pi x} 2}} \pi + \sqrt {1 + \frac {x^2} 4} + x / 2 + 1$$

Esto no es óptimo pero podría ayudar a alguien más si quiere conseguir uno mejor.