Demostrar que $f(ab) = f(a) + f(b)$

Question

Pregunta : se supone que solo ese $f: (0,\infty)\to{\mathbb{R}}$ es diferenciable y que $f'(x) = 1/x$, e $f(1)=0$. Probar que para todo $a,b \in(0,\infty)$, $f(ab)=f(a)+f(b)$. [Sugerencia: Deje $g(x)=f(ax)$]

Mi solución : sabemos que $$f(x) = \int f'(x)dx = \int\frac{1}{x}dx = \ln(x) + C$$

También, nos da que $f(1)=0$, lo $f(1)=\ln(1)+C=0$, lo que nos da $C=0$. Por lo tanto, $f(x)= \ln(x)$.

Ahora, por las leyes de los logaritmos, tenemos $\ln(ab)=\ln(a)+ \ln(b)$ todos los $a,b\in(0,\infty)$. Por lo tanto, $f (ab) = f(a) + f(b)$.

Es este el enfoque correcto? No estoy realmente seguro de cómo utilizar la sugerencia de dejar a $g(x) = f(ax)$.

Answer 1

Usted no necesita integral.

Considerar, como la sugerencia de le, $g(x)=f(ax)$ y calcular su derivada: $$ g'(x)=af'(ax)=\frac{1}{ax}=\frac{1}{x} $$ Por lo tanto, no existe $k$ tal que, para cada $x$, $$ g(x)=k+f(x) $$ (debido a que funciones diferenciables definidas sobre un intervalo que tienen la misma derivada difieren por una constante, un conocido consecuencia del valor medio teorema).

Ahora calcular en $x=1$: $g(1)=k+f(1)$, eso significa que $f(a)=k$. Ahora el por encima de identidad, para $x=b$, se lee $$ f(ab)=f(a)+f(b) $$

Answer 2

Por lo general, como un teorema se utiliza para probar las propiedades del logaritmo natural, el cual es definido como:$\int_1^x \frac{1}{t}\ dt$. En este caso, la prueba no es válida, simplemente porque $\ln$ no está definido todavía!

Para demostrar el teorema directamente, considere la posibilidad de $\int_1^{ab} \frac{1}{t}\ dt = \int_1^a \frac{1}{t}\ dt + \int_a^{ab} \frac{1}{t}\ dt$ y tratar de demostrar que los $\int_a^{ab} \frac{1}{t}\ dt = \int_1^b \frac{1}{t}\ dt$.

Tenga en cuenta que mientras egreg's respuesta no necesitan la integración, que no se demuestra la existencia de la función con las propiedades especificadas. Esto no es necesario ya que la pregunta ya se dio una función de este tipo, pero de una manera rigurosa de la definición de $\ln$ es precisamente a través de la integral, lo que en realidad esta respuesta demuestra más de lo necesario, a costa de usar más fuerte matemática de la maquinaria.

Answer 3

Dentro de poco,

$$f'(ax)-f'(x)=\frac a{ax}-\frac1x=0.$$

Por la diferenciabilidad $f(ax)-f(x)$ es una constante, de modo que con $x=b$ $x=1$

$$f(ab)-f(b)=f(a)-f(1)=f(a).$$