Pregunta : se supone que solo ese f:(0,∞)→R es diferenciable y que f′(x)=1/x, e f(1)=0. Probar que para todo a,b∈(0,∞), f(ab)=f(a)+f(b). [Sugerencia: Deje g(x)=f(ax)]
Mi solución : sabemos que f(x)=∫f′(x)dx=∫1xdx=ln(x)+C
También, nos da que f(1)=0, lo f(1)=ln(1)+C=0, lo que nos da C=0. Por lo tanto, f(x)=ln(x).
Ahora, por las leyes de los logaritmos, tenemos ln(ab)=ln(a)+ln(b) todos los a,b∈(0,∞). Por lo tanto, f(ab)=f(a)+f(b).
Es este el enfoque correcto? No estoy realmente seguro de cómo utilizar la sugerencia de dejar a g(x)=f(ax).