En la definición de un (a nivel local pequeño) categoría, algunos de los libros incluyen la condición de que si $A\neq C$ o $B\neq D$, $\hom(A,B)$ $\hom(C,D)$ son conjuntos disjuntos. Es necesario?
Respuesta
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Sí, esto es (casi) correcto. Todos los morfismos debe tener un determinado dominio y codominio. Por ejemplo, la inclusión de $\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ no debe confundirse con la identidad de $\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$. La inclusión no es un epimorphism, pero la identidad es, por supuesto, un isomorfismo.
En realidad, la "correcta" de la definición de una categoría es una tupla $(M,O,s,t,\circ,\mathrm{id})$ donde $(M,O,s,t)$ es un (posiblemente grande) grafo dirigido, $M$ siendo el conjunto de aristas, $O$ el conjunto de nodos, $s$ el mapa, que asigna a cada borde de su origen y de $t$ el mapa, que asigna a cada borde de su objetivo, y además tenemos un mapa de $\circ : M \times_{t,O,s} M \to M$ (composición) como así como un mapa de $\mathrm{id} : O \to M$ (identidad) que satisface las condiciones habituales.
Mediante la sustitución de "mapas" con "morfismos" aquí, esta definición puede ser escrita en cada categoría con productos de fibra (internalización), que conduce a la noción de la categoría de "objeto" y, en particular, (después de la adición de los inversos) "groupoid objeto", que es útil en la geometría algebraica, así como la topología algebraica.
Como se puede ver, no hay ningún hom-conjuntos de aquí. Pero usted puede definir como la pullbacks $\hom(x,y) = \{x\} \times_O M \times_O \{y\}$. Para una categoría teórico, no es muy sensato preguntar por disjointness de estos conjuntos, ya que esta es una cuestión de la teoría de conjuntos, no invariantes bajo equivalencias de categorías (que ha sido llamado el mal de un ex nlab artículo). Pero la fuente y el destino de los mapas de $s$ $t$ nos permiten recuperar $x,y$ a partir de una morfismos $x \to y$.
