Sé que la transformada de fourier de la función de Heaviside es : $\hat{H}(x) = \pi \delta(\omega) + i (v.p. \frac{1}{\omega})$
¿Cómo puedo prueba de este resultado?
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user27387
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La función de Heaviside $H$ (visto como una base de Distribución) es la débil límite de la función $$ H(x) = \mathcal{S}'-\lim_{\epsilon \rightarrow 0} H(x) e^{-\epsilon x}. $$
Para ver esto vamos a $\varphi$ ser una función arbitraria de rápida desintegración. Split $$ \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_0^{\infty} dx e^{-\epsilon x} \varphi(x) \, $$ la integral en parte positiva y negativa y el uso de la monotonía de convergencia a tomar el límite bajo de la integral.
La transformada de Fourier de una base de distribución es continua y que coincide con la habitual transformada de Fourier en nada, pero vamos a decir $L^{2}$. Así $$ \hat{H} = \mathcal{S}'-\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty} dx e^{i\k\,x\epsilon x} = \mathcal{S}'-\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{i}{k + i \epsilon} $$
Ahora, para todos, para todas las funciones de prueba de $\varphi$ hemos $$ \hat{H}[\varphi] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} dk \frac{i}{k + i \epsilon} \varphi(k) $$ Deje $\eta > 0$ ser algunos pequeños constante fija y dividir la Integral $$ \hat{H}[\varphi] = \left\{ \int_{|k| > \eta} dk + \int_{|k| < \eta} dk \right\} \frac{i}{k + i \epsilon} \varphi(k) $$ En la primera Integral se puede tomar el límite bajo de la integral, al dejar $\eta \rightarrow 0$ esto se convierte en el principal valor plazo. En el segundo Integral escribir $\varphi(k) = \varphi(0) + O(k)$. El primer Término da la $\delta$ función de: $$ \int_{|k| < \eta} dk \frac{i}{k + i \epsilon} \varphi(0) = \varphi(0) (\log (i \epsilon + \eta) - \log(i \epsilon \eta)) \rightarrow \varphi(0) (\log(\eta) - \log(-\eta)) = -i \pi. $$ El segundo término se desvanece (a la izquierda como un ejercicio :).
